Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 18 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 18 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 (2 x)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 18$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 36 x$ .

$4 x^{3} - 36 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 36 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 36 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 36 x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $4 x$ de $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) = 0$

Etapa 2.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore.

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Etapa 2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 3, 3$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - 3, 3$ .

$0, - 3, 3$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 36 \cdot - 4$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 36 \cdot - 4$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 - 36 \cdot - 4$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 36$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - 256 + 144$

Etapa 5.2.2

Some $- 256$ e $144$ .

$f' (- 4) = - 112$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 112$ .

$- 112$

Etapa 5.3

Em $x = - 4$ , a derivada é $- 112$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 3)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 3)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 3, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 36 (- \frac{3}{2})$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 36 (- \frac{3}{2})$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Etapa 6.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{8}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Etapa 6.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{27}{8}$ para o numerador.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{8}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Etapa 6.2.1.5.2

Fatore $4$ de $8$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 (2)}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Etapa 6.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Etapa 6.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2} - 36 (- \frac{3}{2})$

Etapa 6.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 36 (- \frac{3}{2})$

Etapa 6.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 36 (\frac{- 3}{2})$

Etapa 6.2.1.7.2

Fatore $2$ de $- 36$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 2 (- 18) (\frac{- 3}{2})$

Etapa 6.2.1.7.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 2 \cdot (- 18 (\frac{- 3}{2}))$

Etapa 6.2.1.7.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 18 \cdot - 3$

Etapa 6.2.1.8

Multiplique $- 18$ por $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 54$

Etapa 6.2.2

Para escrever $54$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 54 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.2.3

Combine $54$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{54 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 54 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Multiplique $54$ por $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 108}{2}$

Etapa 6.2.5.2

Some $- 27$ e $108$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{2}$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $\frac{81}{2}$ .

$\frac{81}{2}$

Etapa 6.3

Em $x = - \frac{3}{2}$ , a derivada é $\frac{81}{2}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 3, 0)$ .

Acréscimo em $(- 3, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 36 (\frac{3}{2})$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 36 (\frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 36 (\frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 36 (\frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 36 (\frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 36 (\frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 36 (\frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.5.1

Fatore $2$ de $- 36$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 (- 18) (\frac{3}{2})$

Etapa 7.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 \cdot (- 18 (\frac{3}{2}))$

Etapa 7.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 18 \cdot 3$

Etapa 7.2.1.6

Multiplique $- 18$ por $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 54$

Etapa 7.2.2

Para escrever $- 54$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 54 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 7.2.3

Combine $- 54$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 54 \cdot 2}{2}$

Etapa 7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 \cdot 2}{2}$

Etapa 7.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.5.1

Multiplique $- 54$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108}{2}$

Etapa 7.2.5.2

Subtraia $108$ de $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81}{2}$

Etapa 7.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{2}$

Etapa 7.2.7

A resposta final é $- \frac{81}{2}$ .

$- \frac{81}{2}$

Etapa 7.3

Em $x = \frac{3}{2}$ , a derivada é $- \frac{81}{2}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 3)$ .

Decréscimo em $(0, 3)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 36 \cdot 4$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 36 \cdot 4$

Etapa 8.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 36 \cdot 4$

Etapa 8.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 36 \cdot 4$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = 256 - 36 \cdot 4$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 36$ por $4$ .

$f' (4) = 256 - 144$

Etapa 8.2.2

Subtraia $144$ de $256$ .

$f' (4) = 112$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $112$ .

$112$

Etapa 8.3

Em $x = 4$ , a derivada é $112$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(3, \infty)$ .

Acréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 3, 0), (3, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 3), (0, 3)$

Etapa 10