Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} - 36 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 15 x^{2} - 36 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 36 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 36 \cdot 1$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 36$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 30 x - 36$ .

$6 x^{2} - 30 x - 36$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 30 x - 36 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 30 x - 36 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} - 30 x - 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 30 x - 36 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $6$ de $- 30 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 5 x) - 36 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $6$ de $- 36$ .

$6 x^{2} + 6 (- 5 x) + 6 \cdot - 6 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 (- 5 x)$ .

$6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot - 6 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot - 6$ .

$6 (x^{2} - 5 x - 6) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 5 x - 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 6, 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 6) (x + 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 6) (x + 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 6) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 1$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $6, - 1$ .

$6, - 1$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{2} - 30 \cdot - 2 - 36$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot 4 - 30 \cdot - 2 - 36$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$f' (- 2) = 24 - 30 \cdot - 2 - 36$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 24 + 60 - 36$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $24$ e $60$ .

$f' (- 2) = 84 - 36$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $36$ de $84$ .

$f' (- 2) = 48$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 5.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $48$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 6)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{5}{2}) = 6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Etapa 6.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 2 (3) (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Etapa 6.2.1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Etapa 6.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Etapa 6.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{5}{2}) = 3 (\frac{25}{2}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Etapa 6.2.1.5

Combine $3$ e $\frac{25}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3 \cdot 25}{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $3$ por $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

Etapa 6.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.7.1

Fatore $2$ de $- 30$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 (- 15) (\frac{5}{2}) - 36$

Etapa 6.2.1.7.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 \cdot (- 15 (\frac{5}{2})) - 36$

Etapa 6.2.1.7.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 15 \cdot 5 - 36$

Etapa 6.2.1.8

Multiplique $- 15$ por $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 75 - 36$

Etapa 6.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Escreva $- 75$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} - 36$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $\frac{- 75}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} \cdot \frac{2}{2} - 36$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $\frac{- 75}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} - 36$

Etapa 6.2.2.4

Escreva $- 36$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 36}{1}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $\frac{- 36}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 36}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.2.2.6

Multiplique $\frac{- 36}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 75 \cdot 2 - 36 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Multiplique $- 75$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 - 36 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $- 36$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 - 72}{2}$

Etapa 6.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Subtraia $150$ de $75$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 75 - 72}{2}$

Etapa 6.2.5.2

Subtraia $72$ de $- 75$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 147}{2}$

Etapa 6.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{147}{2}$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $- \frac{147}{2}$ .

$- \frac{147}{2}$

Etapa 6.3

Em $x = \frac{5}{2}$ , a derivada é $- \frac{147}{2}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 1, 6)$ .

Decréscimo em $(- 1, 6)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(6, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = 6 {(7)}^{2} - 30 \cdot 7 - 36$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f' (7) = 6 \cdot 49 - 30 \cdot 7 - 36$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $6$ por $49$ .

$f' (7) = 294 - 30 \cdot 7 - 36$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $7$ .

$f' (7) = 294 - 210 - 36$

Etapa 7.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $210$ de $294$ .

$f' (7) = 84 - 36$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $36$ de $84$ .

$f' (7) = 48$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 7.3

Em $x = 7$ , a derivada é $48$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(6, \infty)$ .

Acréscimo em $(6, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 1), (6, \infty)$

Decréscimo em: $(- 1, 6)$

Etapa 9