Cálculo Exemplos

$f (x) = x - x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 1 - (3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 3 x^{2}$

Etapa 1.1.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 1$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 1$ .

$- 3 x^{2} + 1$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 1 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} = - 1$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 1$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Etapa 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.5.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.5.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 2.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 2.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.57735026$ na expressão.

$f' (- 1.57735026) = - 3 {(- 1.57735026)}^{2} + 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.57735026$ à potência de $2$ .

$f' (- 1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $2.48803384$ .

$f' (- 1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

Etapa 5.2.2

Some $- 7.46410152$ e $1$ .

$f' (- 1.57735026) = - 6.46410152$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 6.46410152$ .

$- 6.46410152$

Etapa 5.3

Em $x = - 1.57735026$ , a derivada é $- 6.46410152$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + 1$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Etapa 6.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f' (0) = 1$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 6.3

Em $x = 0$ , a derivada é $1$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Acréscimo em $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.57735026$ na expressão.

$f' (1.57735026) = - 3 {(1.57735026)}^{2} + 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $1.57735026$ à potência de $2$ .

$f' (1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $2.48803384$ .

$f' (1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

Etapa 7.2.2

Some $- 7.46410152$ e $1$ .

$f' (1.57735026) = - 6.46410152$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 6.46410152$ .

$- 6.46410152$

Etapa 7.3

Em $x = 1.57735026$ , a derivada é $- 6.46410152$ . Por ser negativa, a função diminui em $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Decréscimo em: $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Etapa 9