Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{x + 2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8.3

Mova ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.11

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.12.2

Multiplique $\frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.1.14

Multiplique ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.15

Para escrever ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.16

Combine ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.18

Multiplique ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.18.1

Mova ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.18.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.18.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.18.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.18.5

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.19

Simplifique ${(x + 2)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.20

Mova $2$ para a esquerda de $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 2)}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.21

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.21.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.21.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.21.2.2

Some $x$ e $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 x + 4 = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 4$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4}{3}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

Etapa 4.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.4

Simplifique.

$4 (x + 2) = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.6

Multiplique $4$ por $2$ .

$4 x + 8 = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x + 8 = 0$

Etapa 4.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 8$

Etapa 4.3.3.2

Divida cada termo em $4 x = - 8$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 8$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Etapa 4.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Etapa 4.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Etapa 4.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.3.1

Divida $- 8$ por $4$ .

$x = - 2$

Etapa 4.4

Defina o radicando em $\sqrt{x + 2}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 2 < 0$

Etapa 4.5

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$x < - 2$

Etapa 4.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = \frac{3 (- 3) + 4}{2 {((- 3) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 9 + 4}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.2

Some $- 9$ e $4$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 3$ e $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.2.2

Reescreva ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

Etapa 6.2.2.3

Avalie o expoente.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

Etapa 6.2.2.4

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i}$

Etapa 6.2.3

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{- 5}{2 i}$ pelo conjugado de $2 i$ para tornar o denominador real.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

Etapa 6.2.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Combine.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i i}$

Etapa 6.2.4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.2.1

Adicione parênteses.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Etapa 6.2.4.2.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Etapa 6.2.4.2.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Etapa 6.2.4.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{1 + 1}}$

Etapa 6.2.4.2.5

Some $1$ e $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{2}}$

Etapa 6.2.4.2.6

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 \cdot - 1}$

Etapa 6.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{- 2}$

Etapa 6.2.6

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$f' (- 3) = \frac{5 i}{2}$

Etapa 6.2.7

A resposta final é $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{5 i}{2}$

Etapa 6.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $\frac{5 i}{2}$ . Por conter um número imaginário, a função não existe em $(- \infty, - 2)$ .

A função não é real em $(- \infty, - 2)$ , porque $f' (x)$ é imaginário

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2, - \frac{4}{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.6666667$ na expressão.

$f' (- 1.6666667) = \frac{3 (- 1.6666667) + 4}{2 {((- 1.6666667) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $3$ por $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 5.0000001 + 4}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Some $- 5.0000001$ e $4$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $- 1.6666667$ e $2$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.3333333}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2.2

Reescreva $0.3333333$ como ${0.57735024}^{2}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {({0.57735024}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.2.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 7.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 7.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

Etapa 7.2.2.5

Avalie o expoente.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

Etapa 7.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.3.1

Multiplique $2$ por $0.57735024$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{1.15470048}$

Etapa 7.2.3.2

Divida $- 1.0000001$ por $1.15470048$ .

$f' (- 1.6666667) = - 0.86602553$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- 0.86602553$ .

$- 0.86602553$

Etapa 7.3

Em $x = - 1.6666667$ , a derivada é $- 0.86602553$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 2, - \frac{4}{3})$ .

Decréscimo em $(- 2, - \frac{4}{3})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{4}{3}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.3333334$ na expressão.

$f' (- 0.3333334) = \frac{3 (- 0.3333334) + 4}{2 {((- 0.3333334) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.1.1

Multiplique $3$ por $- 0.3333334$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{- 1.0000002 + 4}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.1.2

Some $- 1.0000002$ e $4$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.2.1

Some $- 0.3333334$ e $2$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.6666666}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2.2

Reescreva $1.6666666$ como ${1.29099442}^{2}$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {({1.29099442}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 8.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 8.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

Etapa 8.2.2.5

Avalie o expoente.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

Etapa 8.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.2.3.1

Multiplique $2$ por $1.29099442$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2.58198884}$

Etapa 8.2.3.2

Divida $2.9999998$ por $2.58198884$ .

$f' (- 0.3333334) = 1.16189494$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $1.16189494$ .

$1.16189494$

Etapa 8.3

Em $x = - 0.3333334$ , a derivada é $1.16189494$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \frac{4}{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \frac{4}{3}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \frac{4}{3}, \infty)$

Decréscimo em: $(- 2, - \frac{4}{3})$

Etapa 10