Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{4} + 32 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{4}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $6$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 x^{3}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 32 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 32 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $32$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 96 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $24 x^{3} + 96 x^{2}$ .

$24 x^{3} + 96 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $24 x^{3} + 96 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$24 x^{3} + 96 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $24 x^{2}$ de $24 x^{3} + 96 x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $24 x^{2}$ de $24 x^{3}$ .

$24 x^{2} (x) + 96 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $24 x^{2}$ de $96 x^{2}$ .

$24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (4) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $24 x^{2}$ de $24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (4)$ .

$24 x^{2} (x + 4) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $24 x^{2} (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 4$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - 4$ .

$0, - 4$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f' (- 5) = 24 {(- 5)}^{3} + 96 {(- 5)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$f' (- 5) = 24 \cdot - 125 + 96 {(- 5)}^{2}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $24$ por $- 125$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 96 {(- 5)}^{2}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 96 \cdot 25$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $96$ por $25$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 2400$

Etapa 5.2.2

Some $- 3000$ e $2400$ .

$f' (- 5) = - 600$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 600$ .

$- 600$

Etapa 5.3

Em $x = - 5$ , a derivada é $- 600$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 4)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 4)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 4, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 24 {(- 2)}^{3} + 96 {(- 2)}^{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = 24 \cdot - 8 + 96 {(- 2)}^{2}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $24$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 + 96 {(- 2)}^{2}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - 192 + 96 \cdot 4$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $96$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 192 + 384$

Etapa 6.2.2

Some $- 192$ e $384$ .

$f' (- 2) = 192$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $192$ .

$192$

Etapa 6.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $192$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 4, 0)$ .

Acréscimo em $(- 4, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 96 {(1)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 96 {(1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $24$ por $1$ .

$f' (1) = 24 + 96 {(1)}^{2}$

Etapa 7.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 24 + 96 \cdot 1$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $96$ por $1$ .

$f' (1) = 24 + 96$

Etapa 7.2.2

Some $24$ e $96$ .

$f' (1) = 120$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $120$ .

$120$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $120$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 4, 0), (0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 4)$

Etapa 9