Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{\frac{4}{7}} - x^{\frac{5}{7}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{\frac{4}{7}} - x^{\frac{5}{7}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{7}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{5}{7}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{4}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{7}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{\frac{4}{7}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{7}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 1 \cdot 7}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 7}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $7$ de $4$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{- 3}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.1.2.8

Combine $\frac{4}{7}$ e $x^{- \frac{3}{7}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{- \frac{3}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.1.2.9

Combine $5$ e $\frac{4 x^{- \frac{3}{7}}}{7}$ .

$f' (x) = \frac{5 (4 x^{- \frac{3}{7}})}{7} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.1.2.10

Multiplique $4$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{20 x^{- \frac{3}{7}}}{7} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.1.2.11

Mova $x^{- \frac{3}{7}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{5}{7}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{\frac{5}{7}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{7}}]$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{7}}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{7}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1})$

Etapa 1.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Etapa 1.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Etapa 1.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 1 \cdot 7}{7}})$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 7}{7}})$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $7$ de $5$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{- 2}{7}})$

Etapa 1.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{- \frac{2}{7}})$

Etapa 1.1.3.8

Combine $\frac{5}{7}$ e $x^{- \frac{2}{7}}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 x^{- \frac{2}{7}}}{7}$

Etapa 1.1.3.9

Mova $x^{- \frac{2}{7}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$ .

$\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$7 x^{\frac{3}{7}}, 7 x^{\frac{2}{7}}, 1$

Etapa 2.2.2

Since $7 x^{\frac{3}{7}}, 7 x^{\frac{2}{7}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $7, 7, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{3}{7}}, x^{\frac{2}{7}}$ .

Etapa 2.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.2.4

Como $7$ não tem fatores além de $1$ e $7$ .

$7$ é um número primo

Etapa 2.2.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.2.6

O MMC de $7, 7, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$7$

Etapa 2.2.7

O MMC de $x^{\frac{3}{7}}, x^{\frac{2}{7}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x^{\frac{3}{7}}$

Etapa 2.2.8

O MMC de $7 x^{\frac{3}{7}}, 7 x^{\frac{2}{7}}, 1$ é a parte numérica $7$ multiplicada pela parte variável.

$7 x^{\frac{3}{7}}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} = 0$ por $7 x^{\frac{3}{7}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} = 0$ por $7 x^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$7 \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$7 \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{20}{x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Etapa 2.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{3}{7}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20}{x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$20 - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Etapa 2.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $x^{\frac{2}{7}} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$ para o numerador.

$20 + \frac{- 5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Fatore $x^{\frac{2}{7}} \cdot 7$ de $7 x^{\frac{2}{7}}$ .

$20 + \frac{- 5}{x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 (1)} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Etapa 2.3.2.1.4.3

Fatore $x^{\frac{2}{7}} \cdot 7$ de $7 x^{\frac{3}{7}}$ .

$20 + \frac{- 5}{x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 (1)} (x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 (x^{\frac{1}{7}})) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Etapa 2.3.2.1.4.4

Cancele o fator comum.

$20 + \frac{- 5}{x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 \cdot 1} (x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 x^{\frac{1}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Etapa 2.3.2.1.4.5

Reescreva a expressão.

$20 - 5 x^{\frac{1}{7}} = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0 (7 x^{\frac{3}{7}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$20 - 5 x^{\frac{1}{7}} = 0 x^{\frac{3}{7}}$

Etapa 2.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $x^{\frac{3}{7}}$ .

$20 - 5 x^{\frac{1}{7}} = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Subtraia $20$ dos dois lados da equação.

$- 5 x^{\frac{1}{7}} = - 20$

Etapa 2.4.2

Eleve cada lado da equação à potência de $7$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(- 5 x^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 20)}^{7}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Simplifique ${(- 5 x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- 5 x^{\frac{1}{7}}$ .

${(- 5)}^{7} {(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 20)}^{7}$

Etapa 2.4.3.1.1.2

Eleve $- 5$ à potência de $7$ .

$- 78125 {(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 20)}^{7}$

Etapa 2.4.3.1.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 78125 x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 20)}^{7}$

Etapa 2.4.3.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$- 78125 x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 20)}^{7}$

Etapa 2.4.3.1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$- 78125 x^{1} = {(- 20)}^{7}$

Etapa 2.4.3.1.1.4

Simplifique.

$- 78125 x = {(- 20)}^{7}$

Etapa 2.4.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.1

Eleve $- 20$ à potência de $7$ .

$- 78125 x = - 1280000000$

Etapa 2.4.4

Divida cada termo em $- 78125 x = - 1280000000$ por $- 78125$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Divida cada termo em $- 78125 x = - 1280000000$ por $- 78125$ .

$\frac{- 78125 x}{- 78125} = \frac{- 1280000000}{- 78125}$

Etapa 2.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 78125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 78125 x}{- 78125} = \frac{- 1280000000}{- 78125}$

Etapa 2.4.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1280000000}{- 78125}$

Etapa 2.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.3.1

Divida $- 1280000000$ por $- 78125$ .

$x = 16384$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $16384$ .

$16384$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{20}{7 \sqrt[7]{x^{3}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{20}{7 \sqrt[7]{x^{3}}} - \frac{5}{7 \sqrt[7]{x^{2}}}$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{20}{7 \sqrt[7]{x^{3}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$7 \sqrt[7]{x^{3}} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $7$ ª potência.

${(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{7} = 0^{7}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{7}}$ .

${(7 x^{\frac{3}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique ${(7 x^{\frac{3}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $7 x^{\frac{3}{7}}$ .

$7^{7} {(x^{\frac{3}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Eleve $7$ à potência de $7$ .

$823543 {(x^{\frac{3}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Etapa 4.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$823543 x^{\frac{3}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$823543 x^{\frac{3}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$823543 x^{3} = 0^{7}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$823543 x^{3} = 0$

Etapa 4.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Divida cada termo em $823543 x^{3} = 0$ por $823543$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.1

Divida cada termo em $823543 x^{3} = 0$ por $823543$ .

$\frac{823543 x^{3}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Etapa 4.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $823543$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{823543 x^{3}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Etapa 4.3.3.1.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{823543}$

Etapa 4.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $823543$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 4.3.3.3

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 4.3.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 4.4

Defina o denominador em $\frac{5}{7 \sqrt[7]{x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$7 \sqrt[7]{x^{2}} = 0$

Etapa 4.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $7$ ª potência.

${(7 \sqrt[7]{x^{2}})}^{7} = 0^{7}$

Etapa 4.5.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{7}}$ .

${(7 x^{\frac{2}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Etapa 4.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Simplifique ${(7 x^{\frac{2}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $7 x^{\frac{2}{7}}$ .

$7^{7} {(x^{\frac{2}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Etapa 4.5.2.2.1.2

Eleve $7$ à potência de $7$ .

$823543 {(x^{\frac{2}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Etapa 4.5.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$823543 x^{\frac{2}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Etapa 4.5.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$823543 x^{\frac{2}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Etapa 4.5.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$823543 x^{2} = 0^{7}$

Etapa 4.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$823543 x^{2} = 0$

Etapa 4.5.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1

Divida cada termo em $823543 x^{2} = 0$ por $823543$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1.1

Divida cada termo em $823543 x^{2} = 0$ por $823543$ .

$\frac{823543 x^{2}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Etapa 4.5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $823543$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{823543 x^{2}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Etapa 4.5.3.1.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{823543}$

Etapa 4.5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1.3.1

Divida $0$ por $823543$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 4.5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.5.3.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.5.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 4.5.3.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 16384) \cup (16384, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {(- 1)}^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{7}$ .

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{3}{7})}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 6.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{3}{7})}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 6.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {(- 1)}^{3}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 6.2.1.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- 1) = \frac{20}{7 \cdot - 1} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{20}{- 7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 6.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 6.2.1.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{7}$ .

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 6.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{2}{7})}}$

Etapa 6.2.1.4.3

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{2}{7})}}$

Etapa 6.2.1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.4.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 \cdot 1}$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $7$ por $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7}$

Etapa 6.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 1) = \frac{- 20 - 5}{7}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Subtraia $5$ de $- 20$ .

$f' (- 1) = \frac{- 25}{7}$

Etapa 6.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{25}{7}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{25}{7}$ .

$- \frac{25}{7}$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- \frac{25}{7}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 16384)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $8192$ na expressão.

$f' (8192) = \frac{20}{7 {(8192)}^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 {(8192)}^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Remova os parênteses.

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 7.2.2

Para escrever $- \frac{5}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8192^{\frac{1}{7}}}{8192^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{8192^{\frac{1}{7}}}{8192^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 7.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $\frac{5}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}}}$ por $\frac{8192^{\frac{1}{7}}}{8192^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}} \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $8192^{\frac{2}{7}}$ por $8192^{\frac{1}{7}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1

Mova $8192^{\frac{1}{7}}$ .

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot (8192^{\frac{1}{7}} \cdot 8192^{\frac{2}{7}})}$

Etapa 7.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{1}{7} + \frac{2}{7}}}$

Etapa 7.2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{1 + 2}{7}}}$

Etapa 7.2.3.2.4

Some $1$ e $2$ .

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$

Etapa 7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (8192) = \frac{20 - 5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $\frac{20 - 5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{20 - 5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$

Etapa 7.3

Em $x = 8192$ , a derivada é $\frac{20 - 5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 16384)$ .

Decréscimo em $(0, 16384)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(16384, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $16385$ na expressão.

$f' (16385) = \frac{20}{7 {(16385)}^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 {(16385)}^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Remova os parênteses.

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}}}$

Etapa 8.2.2

Para escrever $- \frac{5}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16385^{\frac{1}{7}}}{16385^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{16385^{\frac{1}{7}}}{16385^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 8.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Multiplique $\frac{5}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}}}$ por $\frac{16385^{\frac{1}{7}}}{16385^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}} \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $16385^{\frac{2}{7}}$ por $16385^{\frac{1}{7}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.1

Mova $16385^{\frac{1}{7}}$ .

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot (16385^{\frac{1}{7}} \cdot 16385^{\frac{2}{7}})}$

Etapa 8.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{1}{7} + \frac{2}{7}}}$

Etapa 8.2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{1 + 2}{7}}}$

Etapa 8.2.3.2.4

Some $1$ e $2$ .

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$

Etapa 8.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (16385) = \frac{20 - 5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$

Etapa 8.2.5

A resposta final é $\frac{20 - 5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{20 - 5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$

Etapa 8.3

Em $x = 16385$ , a derivada é $\frac{20 - 5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(16384, \infty)$ .

Decréscimo em $(16384, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, 0), (0, 16384), (16384, \infty)$

Etapa 10