Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 16})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.5

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.6

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Etapa 1.1.7

Combine $2$ e $\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.4.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.4.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 32 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.4

Multiplique $- 32$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.2

Combine os termos opostos em $4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}$ .

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Etapa 1.1.8.4.2.1

Subtraia $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 64 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.2.2

Some $- 64 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.8.6.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.8.6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Etapa 1.1.8.6.3

Aplique a regra do produto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$64 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $64 x = 0$ por $64$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $64 x = 0$ por $64$ .

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{64}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $64$ .

$x = 0$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Defina ${(x + 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.2.2.1

Defina ${(x + 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2.2

Resolva ${(x + 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 4.2.3

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.3.2

Resolva ${(x - 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 4.2.3.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 4, 4$

Etapa 4.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f' (- 5) = - \frac{64 (- 5)}{{((- 5) + 4)}^{2} {((- 5) - 4)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $64$ por $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 5 + 4)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 5$ e $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $4$ de $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 9)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 {(- 9)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 \cdot 81}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $81$ por $1$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{81}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 5) = \frac{320}{81}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{320}{81}$ .

$\frac{320}{81}$

Etapa 6.3

Em $x = - 5$ , a derivada é $\frac{320}{81}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 4)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 4)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 4, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = - \frac{64 (- 2)}{{((- 2) + 4)}^{2} {((- 2) - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $64$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{{(- 2 + 4)}^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $- 2$ e $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $4$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 6)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 {(- 6)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 \cdot 36}$

Etapa 7.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $4$ por $36$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{144}$

Etapa 7.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 128$ e $144$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1

Fatore $16$ de $- 128$ .

$f' (- 2) = - \frac{16 (- 8)}{144}$

Etapa 7.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.2.1

Fatore $16$ de $144$ .

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

Etapa 7.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

Etapa 7.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (- 2) = - \frac{- 8}{9}$

Etapa 7.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = \frac{8}{9}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Etapa 7.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $\frac{8}{9}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 4, 0)$ .

Acréscimo em $(- 4, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - \frac{64 (2)}{{((2) + 4)}^{2} {((2) - 4)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Multiplique $64$ por $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Some $2$ e $4$ .

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $4$ de $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(- 2)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{36 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{36 \cdot 4}$

Etapa 8.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Multiplique $36$ por $4$ .

$f' (2) = - \frac{128}{144}$

Etapa 8.2.3.2

Cancele o fator comum de $128$ e $144$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.1

Fatore $16$ de $128$ .

$f' (2) = - \frac{16 (8)}{144}$

Etapa 8.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.2.1

Fatore $16$ de $144$ .

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

Etapa 8.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

Etapa 8.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (2) = - \frac{8}{9}$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Etapa 8.3

Em $x = 2$ , a derivada é $- \frac{8}{9}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 4)$ .

Decréscimo em $(0, 4)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = - \frac{64 (5)}{{((5) + 4)}^{2} {((5) - 4)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Multiplique $64$ por $5$ .

$f' (5) = - \frac{320}{{(5 + 4)}^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Some $5$ e $4$ .

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $4$ de $5$ .

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} \cdot 1^{2}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1^{2}}$

Etapa 9.2.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1}$

Etapa 9.2.3

Multiplique $81$ por $1$ .

$f' (5) = - \frac{320}{81}$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $- \frac{320}{81}$ .

$- \frac{320}{81}$

Etapa 9.3

Em $x = 5$ , a derivada é $- \frac{320}{81}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(4, \infty)$ .

Decréscimo em $(4, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

Decréscimo em: $(0, 4), (4, \infty)$

Etapa 11