Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 1.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 1.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 1.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.5.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $x^{2} - 6 x + 9$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Etapa 2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Etapa 2.2.3

Reescreva o polinômio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $3$ .

$3$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$f' (2) = 4 - 12 + 9$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $12$ de $4$ .

$f' (2) = - 8 + 9$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 8$ e $9$ .

$f' (2) = 1$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 5.3

Em $x = 2$ , a derivada é $1$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 3)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 3)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 9$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 16 - 6 \cdot 4 + 9$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$f' (4) = 16 - 24 + 9$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 6.2.2.1

Subtraia $24$ de $16$ .

$f' (4) = - 8 + 9$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 8$ e $9$ .

$f' (4) = 1$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 6.3

Em $x = 4$ , a derivada é $1$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(3, \infty)$ .

Acréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Etapa 8