Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 25}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 25) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 25) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 25$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 50 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 50 x - 2 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 50 x + 0}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.3.2.2

Some $- 50 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 50 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.5.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$f' (x) = - \frac{50 x}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 1.1.6.5.3

Aplique a regra do produto a $(x + 5) (x - 5)$ .

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ .

$- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$50 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $50 x = 0$ por $50$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $50 x = 0$ por $50$ .

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{50}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $50$ .

$x = 0$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Defina ${(x + 5)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Defina ${(x + 5)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2.2

Resolva ${(x + 5)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 4.2.3

Defina ${(x - 5)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Defina ${(x - 5)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.3.2

Resolva ${(x - 5)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 4.2.3.2.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4.2.4

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, 5$

Etapa 4.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 5, x = 5$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 5)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f' (- 6) = - \frac{50 (- 6)}{{((- 6) + 5)}^{2} {((- 6) - 5)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $50$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 6 + 5)}^{2} {(- 6 - 5)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 6$ e $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 1)}^{2} {(- 6 - 5)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $5$ de $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 1)}^{2} {(- 11)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{1 {(- 11)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $- 11$ à potência de $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{1 \cdot 121}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $121$ por $1$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{121}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 6) = \frac{300}{121}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{300}{121}$ .

$\frac{300}{121}$

Etapa 6.3

Em $x = - 6$ , a derivada é $\frac{300}{121}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 5)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 5)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 5, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{5}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{50 (- \frac{5}{2})}{{((- \frac{5}{2}) + 5)}^{2} {((- \frac{5}{2}) - 5)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $50$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 50 (\frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2} + 5)}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Combine $- 50$ e $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + 5)}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 5 + 5 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.4.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 5 + 10}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4.2

Some $- 5$ e $10$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.6

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.7

Combine $- 5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5 - 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.9.1

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5 - 10}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.9.2

Subtraia $10$ de $- 5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 15}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{15}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.11

Aplique a regra do produto a $- \frac{15}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2})}$

Etapa 7.2.2.12

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.12.1

Combine $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ e ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{15}{2})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.12.2

Combine $\frac{5^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ e ${(\frac{15}{2})}^{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.13.1

Aplique a regra do produto a $\frac{15}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{15^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.13.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.13.2.1

Combine $5^{2}$ e $\frac{15^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.13.2.2

Combine ${(- 1)}^{2}$ e $\frac{5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} (5^{2} \cdot 15^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.13.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.13.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 25 \cdot 15^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.13.3.3

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 25 \cdot 225}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.13.3.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.13.3.4.1

Multiplique $25$ por $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{25 \cdot 225}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.13.3.4.2

Multiplique $25$ por $225$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.13.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{2^{2}}}$

Etapa 7.2.2.14

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{4}}$

Etapa 7.2.2.15

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Etapa 7.2.2.16

Multiplique $\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.16.1

Multiplique $\frac{5625}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4 \cdot 4}}$

Etapa 7.2.2.16.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Etapa 7.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $- 50$ por $5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 250}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Etapa 7.2.3.2

Divida $- 250$ por $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 125}{\frac{5625}{16}}$

Etapa 7.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (- 125 (\frac{16}{5625}))$

Etapa 7.2.5

Cancele o fator comum de $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.5.1

Fatore $125$ de $- 125$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 (- 1) (\frac{16}{5625}))$

Etapa 7.2.5.2

Fatore $125$ de $5625$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 \cdot (- 1 \frac{16}{125 \cdot 45}))$

Etapa 7.2.5.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 \cdot (- 1 \frac{16}{125 \cdot 45}))$

Etapa 7.2.5.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{16}{45}$

Etapa 7.2.6

A resposta final é $\frac{16}{45}$ .

$\frac{16}{45}$

Etapa 7.3

Em $x = - \frac{5}{2}$ , a derivada é $\frac{16}{45}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 5, 0)$ .

Acréscimo em $(- 5, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 5)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{50 (\frac{5}{2})}{{((\frac{5}{2}) + 5)}^{2} {((\frac{5}{2}) - 5)}^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Combine $50$ e $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + 5)}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.2

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5 + 5 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.4.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5 + 10}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.4.2

Some $5$ e $10$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{15}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Etapa 8.2.2.6

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.7

Combine $- 5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5 - 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.9.1

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5 - 10}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.9.2

Subtraia $10$ de $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.11

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2})}$

Etapa 8.2.2.12

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.12.1

Combine $\frac{15^{2}}{2^{2}}$ e ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Etapa 8.2.2.12.2

Combine $\frac{15^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ e ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.13.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.13.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.13.2.1

Combine $15^{2}$ e $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.13.2.2

Combine ${(- 1)}^{2}$ e $\frac{15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} (15^{2} \cdot 5^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.13.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.13.3.2

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 225 \cdot 5^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.13.3.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 225 \cdot 25}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.13.3.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.13.3.4.1

Multiplique $225$ por $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{225 \cdot 25}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.13.3.4.2

Multiplique $225$ por $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.13.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{2^{2}}}$

Etapa 8.2.2.14

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{4}}$

Etapa 8.2.2.15

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Etapa 8.2.2.16

Multiplique $\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.16.1

Multiplique $\frac{5625}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4 \cdot 4}}$

Etapa 8.2.2.16.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Etapa 8.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Multiplique $50$ por $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{250}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Etapa 8.2.3.2

Divida $250$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{125}{\frac{5625}{16}}$

Etapa 8.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{5625}))$

Etapa 8.2.5

Cancele o fator comum de $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.5.1

Fatore $125$ de $5625$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{125 (45)}))$

Etapa 8.2.5.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{125 \cdot 45}))$

Etapa 8.2.5.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{16}{45}$

Etapa 8.2.6

A resposta final é $- \frac{16}{45}$ .

$- \frac{16}{45}$

Etapa 8.3

Em $x = \frac{5}{2}$ , a derivada é $- \frac{16}{45}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 5)$ .

Decréscimo em $(0, 5)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(5, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = - \frac{50 (6)}{{((6) + 5)}^{2} {((6) - 5)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Multiplique $50$ por $6$ .

$f' (6) = - \frac{300}{{(6 + 5)}^{2} {(6 - 5)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Some $6$ e $5$ .

$f' (6) = - \frac{300}{11^{2} {(6 - 5)}^{2}}$

Etapa 9.2.2.2

Subtraia $5$ de $6$ .

$f' (6) = - \frac{300}{11^{2} \cdot 1^{2}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $11$ à potência de $2$ .

$f' (6) = - \frac{300}{121 \cdot 1^{2}}$

Etapa 9.2.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (6) = - \frac{300}{121 \cdot 1}$

Etapa 9.2.3

Multiplique $121$ por $1$ .

$f' (6) = - \frac{300}{121}$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $- \frac{300}{121}$ .

$- \frac{300}{121}$

Etapa 9.3

Em $x = 6$ , a derivada é $- \frac{300}{121}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(5, \infty)$ .

Decréscimo em $(5, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 5), (- 5, 0)$

Decréscimo em: $(0, 5), (5, \infty)$

Etapa 11