Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

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Etapa 1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.7.3

Mova ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Etapa 1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 1.1.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 1.1.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 1.1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Etapa 1.1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.1.13

Combine frações.

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Etapa 1.1.13.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Etapa 1.1.13.2

Combine $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.13.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(4 - x)}^{1}}}$

Etapa 4.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{4 - x} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{4 - x})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique ${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(4 - x)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.4

Simplifique.

$4 (4 - x) = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.6

Multiplique.

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Etapa 4.3.2.2.1.6.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 + 4 (- x) = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$16 - 4 x = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$16 - 4 x = 0$

Etapa 4.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- 4 x = - 16$

Etapa 4.3.3.2

Divida cada termo em $- 4 x = - 16$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 4.3.3.2.1

Divida cada termo em $- 4 x = - 16$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Etapa 4.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 4.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Etapa 4.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 4}$

Etapa 4.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.2.3.1

Divida $- 16$ por $- 4$ .

$x = 4$

Etapa 4.4

Defina o radicando em $\sqrt{4 - x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$4 - x < 0$

Etapa 4.5

Resolva $x$ .

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Etapa 4.5.1

Subtraia $4$ dos dois lados da desigualdade.

$- x < - 4$

Etapa 4.5.2

Divida cada termo em $- x < - 4$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.5.2.1

Divida cada termo em $- x < - 4$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.5.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x > 4$

Etapa 4.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \sqrt{4 - x}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - (3))}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (3) = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 6.3

Em $x = 3$ , a derivada é $- \frac{1}{2}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 4)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 4)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - (5))}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2.1.3

Reescreva ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Etapa 7.2.1.4

Avalie o expoente.

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Etapa 7.2.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$f' (5) = - \frac{1}{2 i}$

Etapa 7.2.2

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{1}{2 i}$ pelo conjugado de $2 i$ para tornar o denominador real.

$f' (5) = - (\frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i})$

Etapa 7.2.3

Multiplique.

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Etapa 7.2.3.1

Combine.

$f' (5) = - \frac{1 i}{2 i i}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $i$ por $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 i i}$

Etapa 7.2.3.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.3.3.1

Adicione parênteses.

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Etapa 7.2.3.3.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Etapa 7.2.3.3.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Etapa 7.2.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

Etapa 7.2.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{2}}$

Etapa 7.2.3.3.6

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (5) = - \frac{i}{- 2}$

Etapa 7.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (5) = \frac{i}{2}$

Etapa 7.2.6

A resposta final é $\frac{i}{2}$ .

$\frac{i}{2}$

Etapa 7.3

Em $x = 5$ , a derivada é $\frac{i}{2}$ . Por conter um número imaginário, a função não existe em $(4, \infty)$ .

A função não é real em $(4, \infty)$ , porque $f' (x)$ é imaginário

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, 4)$

Etapa 9