Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5}{x + 5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{x + 5}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x + 5$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 5$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 5$ .

$5 (- {(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 ({(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Etapa 1.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 1.1.3.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} \cdot 1$

Etapa 1.1.3.5.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.2.1

Combine $- 5$ e $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$5 = 0$

Etapa 2.3

Como $5 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 5)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{5}{x + 5}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ .

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 5)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f' (- 6) = - \frac{5}{{((- 6) + 5)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Some $- 6$ e $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{1}$

Etapa 6.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.1

Divida $5$ por $1$ .

$f' (- 6) = - 1 \cdot 5$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f' (- 6) = - 5$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 6.3

Em $x = - 6$ , a derivada é $- 5$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 5)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 5)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 5, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = - \frac{5}{{((- 4) + 5)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1

Some $- 4$ e $5$ .

$f' (- 4) = - \frac{5}{1^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- 4) = - \frac{5}{1}$

Etapa 7.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.2.1

Divida $5$ por $1$ .

$f' (- 4) = - 1 \cdot 5$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f' (- 4) = - 5$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 7.3

Em $x = - 4$ , a derivada é $- 5$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 5, \infty)$ .

Decréscimo em $(- 5, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, - 5), (- 5, \infty)$

Etapa 9