Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.4.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - \frac{1}{{((0) - 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

Etapa 6.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

Etapa 6.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f' (0) = - 1 \cdot 1$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (0) = - 1$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 6.3

Em $x = 0$ , a derivada é $- 1$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - \frac{1}{{((2) - 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{1^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

Etapa 7.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

Etapa 7.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (2) = - 1$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 7.3

Em $x = 2$ , a derivada é $- 1$ . Por ser negativa, a função diminui em $(1, \infty)$ .

Decréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

Etapa 9