Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x + 3 x^{2} - x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 3 x^{2} - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$4 + 6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 + 6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 + 6 x - (3 x^{2})$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 + 6 x - 3 x^{2}$

Etapa 1.1.5

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 4$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 6 x + 4$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Etapa 2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.3

Substitua os valores $a = - 3$ , $b = 6$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 4)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.4.1.2.2

Multiplique $12$ por $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.4.1.3

Some $36$ e $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.4.1.4

Reescreva $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.4.1

Fatore $4$ de $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Etapa 2.4.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.2.2

Multiplique $12$ por $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.3

Some $36$ e $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.4

Reescreva $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Etapa 2.5.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Etapa 2.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.2.2

Multiplique $12$ por $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.3

Some $36$ e $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.4

Reescreva $84$ como $2^{2} \cdot 21$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.4.1

Fatore $4$ de $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Etapa 2.6.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Etapa 2.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Etapa 2.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.52752525$ na expressão.

$f' (- 1.52752525) = - 3 {(- 1.52752525)}^{2} + 6 (- 1.52752525) + 4$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.52752525$ à potência de $2$ .

$f' (- 1.52752525) = - 3 \cdot 2.33333338 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $2.33333338$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 1.52752525$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 - 9.1651515 + 4$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $9.1651515$ de $- 7.00000016$ .

$f' (- 1.52752525) = - 16.16515166 + 4$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 16.16515166$ e $4$ .

$f' (- 1.52752525) = - 12.16515166$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 12.16515166$ .

$- 12.16515166$

Etapa 5.3

Em $x = - 1.52752525$ , a derivada é $- 12.16515166$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.99999997$ na expressão.

$f' (0.99999997) = - 3 {(0.99999997)}^{2} + 6 (0.99999997) + 4$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $0.99999997$ à potência de $2$ .

$f' (0.99999997) = - 3 \cdot 0.99999995 + 6 (0.99999997) + 4$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $0.99999995$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 6 (0.99999997) + 4$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $6$ por $0.99999997$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 5.99999985 + 4$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $- 2.99999985$ e $5.99999985$ .

$f' (0.99999997) = 3 + 4$

Etapa 6.2.2.2

Some $3$ e $4$ .

$f' (0.99999997) = 7$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $7$ .

$7$

Etapa 6.3

Em $x = 0.99999997$ , a derivada é $7$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ .

Acréscimo em $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $3.5275252$ na expressão.

$f' (3.5275252) = - 3 {(3.5275252)}^{2} + 6 (3.5275252) + 4$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $3.5275252$ à potência de $2$ .

$f' (3.5275252) = - 3 \cdot 12.44343403 + 6 (3.5275252) + 4$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $12.44343403$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 6 (3.5275252) + 4$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $6$ por $3.5275252$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 21.1651512 + 4$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $- 37.3303021$ e $21.1651512$ .

$f' (3.5275252) = - 16.1651509 + 4$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 16.1651509$ e $4$ .

$f' (3.5275252) = - 12.1651509$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 12.1651509$ .

$- 12.1651509$

Etapa 7.3

Em $x = 3.5275252$ , a derivada é $- 12.1651509$ . Por ser negativa, a função diminui em $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$

Decréscimo em: $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}), (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Etapa 9