Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 9 x^{2} - 48 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 9 x^{2} - 48 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 18 x - 48 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 18 x - 48 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 48$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 48$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 18 x - 48$ .

$3 x^{2} - 18 x - 48$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 18 x - 48 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 18 x - 48 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 18 x - 48$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x - 48 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $3$ de $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) - 48 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $3$ de $- 48$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot - 16 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot - 16 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot - 16$ .

$3 (x^{2} - 6 x - 16) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x - 16$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 16$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 8, 2$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 ((x - 8) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (x - 8) (x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 (x - 8) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 8, - 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{3} - 9 x^{2} - 48 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 8$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $8$ por $x$ .

${(8)}^{3} - 9 {(8)}^{2} - 48 \cdot 8$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$512 - 9 {(8)}^{2} - 48 \cdot 8$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$512 - 9 \cdot 64 - 48 \cdot 8$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 9$ por $64$ .

$512 - 576 - 48 \cdot 8$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 48$ por $8$ .

$512 - 576 - 384$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $576$ de $512$ .

$- 64 - 384$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $384$ de $- 64$ .

$- 448$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{3} - 9 {(- 2)}^{2} - 48 \cdot - 2$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 8 - 9 {(- 2)}^{2} - 48 \cdot - 2$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 8 - 9 \cdot 4 - 48 \cdot - 2$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 9$ por $4$ .

$- 8 - 36 - 48 \cdot - 2$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 48$ por $- 2$ .

$- 8 - 36 + 96$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $36$ de $- 8$ .

$- 44 + 96$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $- 44$ e $96$ .

$52$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(8, - 448), (- 2, 52)$

Etapa 5