Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3 x^{2} - 12 x + 12$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 12 x + 12$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 12 x + 12$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 12 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $3$ de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 12 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $3$ de $12$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva o polinômio.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 2$ .

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida ${(x - 2)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.5

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

${(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 6$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 6$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 (2) - 6$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$8 - 24 + 12 (2) - 6$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $12$ por $2$ .

$8 - 24 + 24 - 6$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $24$ de $8$ .

$- 16 + 24 - 6$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $- 16$ e $24$ .

$8 - 6$

Etapa 4.1.2.2.3

Subtraia $6$ de $8$ .

$2$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(2, 2)$

Etapa 5