Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $3 x^{2} - 8 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 8 x - 3$ .

$3 x^{2} - 8 x - 3$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 8 x - 3 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 8 x - 3 = 0$

Etapa 2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ e cuja soma é $b = - 8$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 8$ de $- 8 x$ .

$3 x^{2} - 8 x - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $- 8$ como $1$ mais $- 9$

$3 x^{2} + (1 - 9) x - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$3 x^{2} + x - 9 x - 3 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} + x) - 9 x - 3 = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) (x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $3 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $3 x + 1$ como igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $3 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 1$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{3}$

Etapa 2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 1) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{1}{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{1}{3}$ por $x$ .

${(- \frac{1}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{1^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{3^{3}} - 4 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- \frac{1}{27} - 4 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.1.2.1.5.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.6

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{27} - 4 (1 \frac{1^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.7

Multiplique $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{27} - 4 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{27} - 4 \frac{1}{3^{2}} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{27} - 4 (\frac{1}{9}) - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.10

Combine $- 4$ e $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{1}{27} + \frac{- 4}{9} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{27} - \frac{4}{9} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.12

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.2.1.12.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3}$ para o numerador.

$- \frac{1}{27} - \frac{4}{9} - 3 (\frac{- 1}{3}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.12.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$- \frac{1}{27} - \frac{4}{9} + 3 (- 1) \frac{- 1}{3} + 1$

Etapa 4.1.2.1.12.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{27} - \frac{4}{9} + 3 \cdot - 1 \frac{- 1}{3} + 1$

Etapa 4.1.2.1.12.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{27} - \frac{4}{9} - 1 \cdot - 1 + 1$

Etapa 4.1.2.1.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{27} - \frac{4}{9} + 1 + 1$

Etapa 4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{27} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 1$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 1 + 1$

Etapa 4.1.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 1$

Etapa 4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

Etapa 4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + 1$

Etapa 4.1.2.2.6

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1}$

Etapa 4.1.2.2.7

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.8

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.9

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.2.10

Multiplique $3$ por $9$ .

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{27} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 - 4 \cdot 3 + 27 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 1 - 12 + 27 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4.2

Subtraia $12$ de $- 1$ .

$\frac{- 13 + 27 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4.3

Some $- 13$ e $27$ .

$\frac{14 + 27}{27}$

Etapa 4.1.2.4.4

Some $14$ e $27$ .

$\frac{41}{27}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 3$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

${(3)}^{3} - 4 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - 4 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 1$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 - 4 \cdot 9 - 3 \cdot 3 + 1$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$27 - 36 - 3 \cdot 3 + 1$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$27 - 36 - 9 + 1$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $36$ de $27$ .

$- 9 - 9 + 1$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $9$ de $- 9$ .

$- 18 + 1$

Etapa 4.2.2.2.3

Some $- 18$ e $1$ .

$- 17$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- \frac{1}{3}, \frac{41}{27}), (3, - 17)$

Etapa 5