Cálculo Exemplos

$y = {(x - 7)}^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 7$ .

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Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 7]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 7]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 7$ .

$3 {(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 7]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$3 {(x - 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x - 7)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(x - 7)}^{2} (1 + 0)$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$3 {(x - 7)}^{2} \cdot 1$

Etapa 1.1.2.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 7)}^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 {(x - 7)}^{2}$ .

$3 {(x - 7)}^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 {(x - 7)}^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 {(x - 7)}^{2} = 0$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $3 {(x - 7)}^{2} = 0$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $3 {(x - 7)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x - 7)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(x - 7)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida ${(x - 7)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 7)}^{2} = \frac{0}{3}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Divida $0$ por $3$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 2.4

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie ${(x - 7)}^{3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 7$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $7$ por $x$ .

${((7) - 7)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Subtraia $7$ de $7$ .

$0^{3}$

Etapa 4.1.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(7, 0)$

Etapa 5