Cálculo Exemplos

$y = {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.8.3

Combine $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ e $7$ .

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 7}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

Etapa 1.1.3.8.4

Mova $7$ para a esquerda de $x - 1 - (x + 1)$ .

$\frac{7 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{7 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 1 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.1.4.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.4.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{7 x - 7 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.1.4.4.2

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.1.4.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.1.4.4.4

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.1.4.4.5

Subtraia $7 x$ de $7 x$ .

$\frac{0 - 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.1.4.4.6

Subtraia $7$ de $0$ .

$\frac{- 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.1.4.4.7

Subtraia $7$ de $- 7$ .

$\frac{- 14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.1.4.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Etapa 1.1.4.4.9

Multiplique $\frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$ por $\frac{14}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.4.10

Multiplique ${(x - 1)}^{6}$ por ${(x - 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.4.10.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6 + 2}}$

Etapa 1.1.4.4.10.2

Some $6$ e $2$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{8}}$

Etapa 1.1.4.4.11

Mova $14$ para a esquerda de ${(x + 1)}^{6}$ .

$f' (x) = - \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ .

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ por $14$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ por $14$ .

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Divida ${(x + 1)}^{6}$ por $1$ .

${(x + 1)}^{6} = \frac{0}{14}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $14$ .

${(x + 1)}^{6} = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 1)}^{8} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4

Avalie ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

${(\frac{(- 1) + 1}{(- 1) - 1})}^{7}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

${(\frac{0}{- 1 - 1})}^{7}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

${(\frac{0}{- 2})}^{7}$

Etapa 4.1.2.3

Divida $0$ por $- 2$ .

$0^{7}$

Etapa 4.1.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(\frac{(1) + 1}{(1) - 1})}^{7}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

${(\frac{(1) + 1}{0})}^{7}$

Etapa 4.2.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, 0)$

Etapa 5