Cálculo Exemplos

Encontre os Pontos de Inflexão f(x)=x raiz quadrada de 4-x^2
Etapa 1
Encontre a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1
Use para reescrever como .
Etapa 1.1.2
Diferencie usando a regra do produto, que determina que é , em que e .
Etapa 1.1.3
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.3.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 1.1.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.3.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 1.1.4
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 1.1.5
Combine e .
Etapa 1.1.6
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.1.7
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.7.1
Multiplique por .
Etapa 1.1.7.2
Subtraia de .
Etapa 1.1.8
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.8.1
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 1.1.8.2
Combine e .
Etapa 1.1.8.3
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 1.1.8.4
Combine e .
Etapa 1.1.9
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.1.10
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.11
Some e .
Etapa 1.1.12
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.13
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.14
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.14.1
Multiplique por .
Etapa 1.1.14.2
Combine e .
Etapa 1.1.14.3
Combine e .
Etapa 1.1.15
Eleve à potência de .
Etapa 1.1.16
Eleve à potência de .
Etapa 1.1.17
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.1.18
Some e .
Etapa 1.1.19
Fatore de .
Etapa 1.1.20
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.20.1
Fatore de .
Etapa 1.1.20.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.1.20.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.1.21
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 1.1.22
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.23
Multiplique por .
Etapa 1.1.24
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 1.1.25
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.1.26
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.26.1
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.1.26.2
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.1.26.3
Some e .
Etapa 1.1.26.4
Divida por .
Etapa 1.1.27
Simplifique .
Etapa 1.1.28
Subtraia de .
Etapa 1.1.29
Reordene os termos.
Etapa 1.2
Encontre a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Diferencie usando a regra do quociente, que determina que é , em que e .
Etapa 1.2.2
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.2.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 1.2.2.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.2.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.2.2.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 1.2.3
Simplifique.
Etapa 1.2.4
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.2.4.2
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.2.4.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.4.4
Multiplique por .
Etapa 1.2.4.5
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.2.4.6
Some e .
Etapa 1.2.5
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.5.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 1.2.5.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.5.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 1.2.6
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 1.2.7
Combine e .
Etapa 1.2.8
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.2.9
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.9.1
Multiplique por .
Etapa 1.2.9.2
Subtraia de .
Etapa 1.2.10
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.10.1
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 1.2.10.2
Combine e .
Etapa 1.2.10.3
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 1.2.11
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.2.12
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.2.13
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.14
Multiplique por .
Etapa 1.2.15
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.2.16
Simplifique os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.16.1
Some e .
Etapa 1.2.16.2
Combine e .
Etapa 1.2.16.3
Combine e .
Etapa 1.2.16.4
Fatore de .
Etapa 1.2.17
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.17.1
Fatore de .
Etapa 1.2.17.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.2.17.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.2.18
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 1.2.19
Multiplique por .
Etapa 1.2.20
Multiplique por .
Etapa 1.2.21
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.21.1
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.21.1.1
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
Etapa 1.2.21.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.2.21.1.3
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.21.1.3.1
Fatore de .
Etapa 1.2.21.1.3.2
Fatore de .
Etapa 1.2.21.1.3.3
Fatore de .
Etapa 1.2.21.1.4
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 1.2.21.1.5
Combine e .
Etapa 1.2.21.1.6
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.2.21.1.7
Reescreva em uma forma fatorada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.21.1.7.1
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.21.1.7.1.1
Fatore de .
Etapa 1.2.21.1.7.1.2
Fatore de .
Etapa 1.2.21.1.7.1.3
Fatore de .
Etapa 1.2.21.1.7.2
Combine expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.21.1.7.2.1
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.21.1.7.2.1.1
Mova .
Etapa 1.2.21.1.7.2.1.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.2.21.1.7.2.1.3
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.2.21.1.7.2.1.4
Some e .
Etapa 1.2.21.1.7.2.1.5
Divida por .
Etapa 1.2.21.1.7.2.2
Simplifique .
Etapa 1.2.21.1.8
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.21.1.8.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.2.21.1.8.2
Multiplique por .
Etapa 1.2.21.1.8.3
Multiplique por .
Etapa 1.2.21.1.8.4
Subtraia de .
Etapa 1.2.21.1.8.5
Some e .
Etapa 1.2.21.2
Combine os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.21.2.1
Reescreva como um produto.
Etapa 1.2.21.2.2
Multiplique por .
Etapa 1.2.21.2.3
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.21.2.3.1
Multiplique por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.21.2.3.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 1.2.21.2.3.1.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.2.21.2.3.2
Escreva como uma fração com um denominador comum.
Etapa 1.2.21.2.3.3
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.2.21.2.3.4
Some e .
Etapa 1.3
A segunda derivada de com relação a é .
Etapa 2
Defina a segunda derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Defina a segunda derivada como igual a .
Etapa 2.2
Defina o numerador como igual a zero.
Etapa 2.3
Resolva a equação para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 2.3.2
Defina como igual a .
Etapa 2.3.3
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.3.1
Defina como igual a .
Etapa 2.3.3.2
Resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.3.2.1
Some aos dois lados da equação.
Etapa 2.3.3.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Etapa 2.3.3.2.3
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.3.2.3.1
Primeiro, use o valor positivo de para encontrar a primeira solução.
Etapa 2.3.3.2.3.2
Depois, use o valor negativo de para encontrar a segunda solução.
Etapa 2.3.3.2.3.3
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Etapa 2.3.4
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 2.4
Exclua as soluções que não tornam verdadeira.
Etapa 3
Encontre os pontos em que a segunda derivada é .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
Substitua em para encontrar o valor de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 3.1.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 3.1.2.2
Multiplique por .
Etapa 3.1.2.3
Some e .
Etapa 3.1.2.4
Reescreva como .
Etapa 3.1.2.5
Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.
Etapa 3.1.2.6
Multiplique por .
Etapa 3.1.2.7
A resposta final é .
Etapa 3.2
O ponto encontrado ao substituir em é . Ele pode ser um ponto de inflexão.
Etapa 4
Divida em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.
Etapa 5
Substitua um valor do intervalo na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 5.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.1
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 5.2.2
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 5.2.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 5.2.2.2
Some e .
Etapa 5.2.2.3
Reescreva como .
Etapa 5.2.2.4
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 5.2.2.5
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.2.5.1
Cancele o fator comum.
Etapa 5.2.2.5.2
Reescreva a expressão.
Etapa 5.2.2.6
Eleve à potência de .
Etapa 5.2.3
Divida por .
Etapa 5.2.4
A resposta final é .
Etapa 5.3
Em , a segunda derivada é . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo .
Acréscimo em , pois
Acréscimo em , pois
Etapa 6
Substitua um valor do intervalo na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 6.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.1
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 6.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 6.2.2
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 6.2.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 6.2.2.2
Some e .
Etapa 6.2.2.3
Reescreva como .
Etapa 6.2.2.4
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 6.2.2.5
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.2.5.1
Cancele o fator comum.
Etapa 6.2.2.5.2
Reescreva a expressão.
Etapa 6.2.2.6
Eleve à potência de .
Etapa 6.2.3
Divida por .
Etapa 6.2.4
A resposta final é .
Etapa 6.3
Em , a segunda derivada é . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo .
Decréscimo em , pois
Decréscimo em , pois
Etapa 7
O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é .
Etapa 8