Cálculo Exemplos

$y = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

Etapa 1

Escreva $y = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ como uma função.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 4$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.1.2.4.2

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 2.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 2.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 2.1.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 2.1.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.1.9

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.1.10

Simplifique.

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Etapa 2.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2

Combine os termos.

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Etapa 2.1.10.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2.2

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.10.2.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Etapa 2.1.10.2.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2.3.4

Subtraia $2$ de $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2.6

Para escrever $x^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2.7

Combine $x^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2.9

Mova $3$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.1.10.2.10

Some $3 x^{\frac{1}{3}}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $\frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.2.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.2.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.2.9

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.2.10

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.2.11

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Etapa 2.2.3.1

Como $- \frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Etapa 2.2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 2.2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Etapa 2.2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.3.5.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Etapa 2.2.3.5.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.3.5.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.3.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Etapa 2.2.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 2.2.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 2.2.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Etapa 2.2.3.9.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Etapa 2.2.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Etapa 2.2.3.11

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.3.12

Combine $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.3.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.3.13.1

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Etapa 2.2.3.13.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.3.13.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.3.13.4

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.3.13.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.3.14

Mova $x^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Etapa 2.2.3.15

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.2.3.16

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.2.3.17

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Etapa 2.2.3.18

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Etapa 2.2.3.19

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$

Etapa 3.2.2

Since $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ .

Etapa 3.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.4

$9$ tem fatores de $3$ e $3$ .

$3 \cdot 3$

Etapa 3.2.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.6

O MMC de $9, 9, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3 \cdot 3$

Etapa 3.2.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$9$

Etapa 3.2.8

O MMC de $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x^{\frac{5}{3}}$

Etapa 3.2.9

O MMC de $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ é a parte numérica $9$ multiplicada pela parte variável.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ por $9 x^{\frac{5}{3}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ por $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.2.1.3

Cancele o fator comum de $x^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

Fatore $x^{\frac{2}{3}}$ de $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.2.1.4

Divida $3$ por $3$ .

$4 x^{1} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.2.1.5

Simplifique.

$4 x + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.2.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x + 9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.2.1.7

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.7.1

Cancele o fator comum.

$4 x + 9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.2.1.7.2

Reescreva a expressão.

$4 x + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.2.1.8

Cancele o fator comum de $x^{\frac{5}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.8.1

Cancele o fator comum.

$4 x + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.2.1.8.2

Reescreva a expressão.

$4 x + 8 = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Multiplique $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Multiplique $9$ por $0$ .

$4 x + 8 = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Etapa 3.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 x + 8 = 0$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 8$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $4 x = - 8$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 8$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Divida $- 8$ por $4$ .

$x = - 2$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 2$ em $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = {(- 2)}^{\frac{1}{3}} ((- 2) - 4)$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Subtraia $4$ de $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 6$

Etapa 4.1.2.2

Mova $- 6$ para a esquerda de ${(- 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- 2) = - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $- 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$- 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $- 2$ em $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ é $(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.1$ na expressão.

$f'' (- 2.1) = \frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Para escrever $\frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Multiplique $\frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}} {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique ${(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Mova ${(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.2.2.4

Some $3$ e $2$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 (- 2.1) + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Avalie o expoente.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 \cdot - 2.1 + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $4$ por $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 8.4 + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.4.3

Some $- 8.4$ e $8$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 2.1) = - \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $- \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 6.3

Em $- 2.1$ , a segunda derivada é $0.01290581$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 2)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 2, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.9$ na expressão.

$f'' (- 1.9) = \frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Para escrever $\frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Multiplique $\frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}} {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique ${(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Mova ${(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.2.2.4

Some $3$ e $2$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 (- 1.9) + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Avalie o expoente.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 \cdot - 1.9 + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.4.2

Multiplique $4$ por $- 1.9$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{- 7.6 + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.4.3

Some $- 7.6$ e $8$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.2.5

A resposta final é $\frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 7.3

Em $- 1.9$ , a segunda derivada é $- 0.01524853$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 2, \infty)$ .

Decréscimo em $(- 2, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 9