Cálculo Exemplos

$y = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{x}{x^{2} + 25}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $x^{2} + 25$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.5

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.6

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.2.7

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie.

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Etapa 2.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.4

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) (2 \cdot ((x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} + 25)}^{2}$ como $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 25) (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 25) + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.2

Mova $25$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 \cdot x^{2} + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $25$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 x^{2} + 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.4.2

Some $25 x^{2}$ e $25 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.6.1

Multiplique $50$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.6.2

Multiplique $- 2$ por $625$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.10

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.10.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2 + 1} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.10.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.11

Expanda $(4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} + 25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{2} x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{1 + 2}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{3}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.4

Multiplique $4$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.1.5

Multiplique $25$ por $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.2

Subtraia $100 x^{3}$ de $100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.1.12.3

Some $4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.2

Some $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.3.3

Subtraia $2500 x$ de $- 1250 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.4.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.4.1.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.1.2

Fatore $2 x$ de $- 100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.1.3

Fatore $2 x$ de $- 3750 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 50 u - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.4

Fatore $u^{2} - 50 u - 1875$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 1875$ e cuja soma é $- 50$ .

$- 75, 25$

Etapa 2.2.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 75) (u + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 25$ e ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.5.1

Fatore $x^{2} + 25$ de $2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.5.2.1

Fatore $x^{2} + 25$ de ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 2.2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 2.2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x (x^{2} - 75) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 75 = 0$

Etapa 3.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.3.3

Defina $x^{2} - 75$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Defina $x^{2} - 75$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 75 = 0$

Etapa 3.3.3.2

Resolva $x^{2} - 75 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Some $75$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 75$

Etapa 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

Etapa 3.3.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{75}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1

Reescreva $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1.1

Fatore $25$ de $75$ .

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

Etapa 3.3.3.2.3.1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Etapa 3.3.3.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x^{2} - 75) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 25}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 25}$

Etapa 4.1.2.1.2

Some $0$ e $25$ .

$f (0) = \frac{0}{25}$

Etapa 4.1.2.2

Divida $0$ por $25$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $5 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $5 \sqrt{3}$ na expressão.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{{(5 \sqrt{3})}^{2} + 25}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Etapa 4.3.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25}$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25}$

Etapa 4.3.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Etapa 4.3.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Etapa 4.3.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Etapa 4.3.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $25$ por $3$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{75 + 25}$

Etapa 4.3.2.1.5

Some $75$ e $25$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{100}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum de $5$ e $100$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Fatore $5$ de $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 (\sqrt{3})}{100}$

Etapa 4.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.2.1

Fatore $5$ de $100$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5 \cdot 20}$

Etapa 4.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5 \cdot 20}$

Etapa 4.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{20}$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $\frac{\sqrt{3}}{20}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{20}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $5 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ é $(5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$

Etapa 4.5

Substitua $- 5 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $- 5 \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{{(- 5 \sqrt{3})}^{2} + 25}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{{(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Etapa 4.5.2.1.2

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Etapa 4.5.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25}$

Etapa 4.5.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25}$

Etapa 4.5.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Etapa 4.5.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Etapa 4.5.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Etapa 4.5.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Etapa 4.5.2.1.4

Multiplique $25$ por $3$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{75 + 25}$

Etapa 4.5.2.1.5

Some $75$ e $25$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{100}$

Etapa 4.5.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ e $100$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1.1

Fatore $5$ de $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{100}$

Etapa 4.5.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.2.1.2.1

Fatore $5$ de $100$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{5 (20)}$

Etapa 4.5.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{5 \cdot 20}$

Etapa 4.5.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{20}$

Etapa 4.5.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 5 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{20}$

Etapa 4.5.2.3

A resposta final é $- \frac{\sqrt{3}}{20}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{20}$

Etapa 4.6

O ponto encontrado ao substituir $- 5 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ é $(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$

Etapa 4.7

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20}), (- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 5 \sqrt{3}) \cup (- 5 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 5 \sqrt{3}) \cup (5 \sqrt{3}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 8.76025403$ na expressão.

$f'' (- 8.76025403) = \frac{2 (- 8.76025403) ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 8.76025403$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 17.52050807 ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 17.52050807$ por ${(- 8.76025403)}^{2} - 75$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 8.76025403$ à potência de $2$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{(76.7420508 + 25)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $76.7420508$ e $25$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{101.7420508}^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $101.7420508$ à potência de $3$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{1053177.23320495}$

Etapa 6.2.3

Divida $- 30.52161524$ por $1053177.23320495$ .

$f'' (- 8.76025403) = - 0.00002898$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 0.00002898$ .

$- 0.00002898$

Etapa 6.3

Em $- 8.76025403$ , a segunda derivada é $- 2.89805118 E - 5$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 4.33012701$ na expressão.

$f'' (- 4.33012701) = \frac{2 (- 4.33012701) ({(- 4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 4.33012701$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{- 8.66025403 ({(- 4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 8.66025403$ por ${(- 4.33012701)}^{2} - 75$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $- 4.33012701$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{(18.75 + 25)}^{3}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $18.75$ e $25$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{43.75}^{3}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $43.75$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{83740.234375}$

Etapa 7.2.3

Divida $487.13928962$ por $83740.234375$ .

$f'' (- 4.33012701) = 0.00581726$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $0.00581726$ .

$0.00581726$

Etapa 7.3

Em $- 4.33012701$ , a segunda derivada é $0.00581726$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ .

Acréscimo em $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 5 \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $4.33012701$ na expressão.

$f'' (4.33012701) = \frac{2 (4.33012701) ({(4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $2$ por $4.33012701$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{8.66025403 ({4.33012701}^{2} - 75)}{{({4.33012701}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $8.66025403$ por ${4.33012701}^{2} - 75$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{({4.33012701}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $4.33012701$ à potência de $2$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{(18.75 + 25)}^{3}}$

Etapa 8.2.2.2

Some $18.75$ e $25$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{43.75}^{3}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $43.75$ à potência de $3$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{83740.234375}$

Etapa 8.2.3

Divida $- 487.13928962$ por $83740.234375$ .

$f'' (4.33012701) = - 0.00581726$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 0.00581726$ .

$- 0.00581726$

Etapa 8.3

Em $4.33012701$ , a segunda derivada é $- 0.00581726$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, 5 \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(0, 5 \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(5 \sqrt{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $8.76025403$ na expressão.

$f'' (8.76025403) = \frac{2 (8.76025403) ({(8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Multiplique $2$ por $8.76025403$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{17.52050807 ({8.76025403}^{2} - 75)}{{({8.76025403}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $17.52050807$ por ${8.76025403}^{2} - 75$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{({8.76025403}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Eleve $8.76025403$ à potência de $2$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{(76.7420508 + 25)}^{3}}$

Etapa 9.2.2.2

Some $76.7420508$ e $25$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{101.7420508}^{3}}$

Etapa 9.2.2.3

Eleve $101.7420508$ à potência de $3$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{1053177.23320495}$

Etapa 9.2.3

Divida $30.52161524$ por $1053177.23320495$ .

$f'' (8.76025403) = 0.00002898$

Etapa 9.2.4

A resposta final é $0.00002898$ .

$0.00002898$

Etapa 9.3

Em $8.76025403$ , a segunda derivada é $2.89805118 E - 5$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(5 \sqrt{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(5 \sqrt{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20}), (0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$ .

$(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20}), (0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$

Etapa 11