Cálculo Exemplos

$f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x^{6} - 13 x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x^{6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x^{6}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$f' (x) = 10 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $6$ por $10$ .

$f' (x) = 60 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 13 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 13 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 13 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 13 \frac{d}{d x} x^{5}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 13 (5 x^{4})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 13$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 65 x^{4}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $60 x^{5} - 65 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [60 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 65 x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (60 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [60 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60 x^{5}$ em relação a $x$ é $60 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 60 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = 60 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $5$ por $60$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 65 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $- 65$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 65 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 65 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 65 \frac{d}{d x} x^{4}$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 65 (4 x^{3})$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $4$ por $- 65$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 260 x^{3}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $300 x^{4} - 260 x^{3}$ .

$300 x^{4} - 260 x^{3}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $300 x^{4} - 260 x^{3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$300 x^{4} - 260 x^{3} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $20 x^{3}$ de $300 x^{4} - 260 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $20 x^{3}$ de $300 x^{4}$ .

$20 x^{3} (15 x) - 260 x^{3} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $20 x^{3}$ de $- 260 x^{3}$ .

$20 x^{3} (15 x) + 20 x^{3} (- 13) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $20 x^{3}$ de $20 x^{3} (15 x) + 20 x^{3} (- 13)$ .

$20 x^{3} (15 x - 13) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$15 x - 13 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $15 x - 13$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $15 x - 13$ como igual a $0$ .

$15 x - 13 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $15 x - 13 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Some $13$ aos dois lados da equação.

$15 x = 13$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $15 x = 13$ por $15$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $15 x = 13$ por $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{13}{15}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15 x}{15} = \frac{13}{15}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{13}{15}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $20 x^{3} (15 x - 13) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{13}{15}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 10 {(0)}^{6} - 13 {(0)}^{5}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 10 \cdot 0 - 13 {(0)}^{5}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $10$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 13 {(0)}^{5}$

Etapa 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 13 \cdot 0$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 13$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 3.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 3.3

Substitua $\frac{13}{15}$ em $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{13}{15}$ na expressão.

$f (\frac{13}{15}) = 10 {(\frac{13}{15})}^{6} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{13}{15}$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{13^{6}}{15^{6}}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $13$ à potência de $6$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{4826809}{15^{6}}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.3

Eleve $15$ à potência de $6$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{4826809}{11390625}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Fatore $5$ de $10$ .

$f (\frac{13}{15}) = 5 (2) (\frac{4826809}{11390625}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Fatore $5$ de $11390625$ .

$f (\frac{13}{15}) = 5 \cdot (2 (\frac{4826809}{5 \cdot 2278125})) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{13}{15}) = 5 \cdot (2 (\frac{4826809}{5 \cdot 2278125})) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{13}{15}) = 2 (\frac{4826809}{2278125}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.5

Combine $2$ e $\frac{4826809}{2278125}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{2 \cdot 4826809}{2278125} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.6

Multiplique $2$ por $4826809$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Etapa 3.3.2.1.7

Aplique a regra do produto a $\frac{13}{15}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 \frac{13^{5}}{15^{5}}$

Etapa 3.3.2.1.8

Eleve $13$ à potência de $5$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 \frac{371293}{15^{5}}$

Etapa 3.3.2.1.9

Eleve $15$ à potência de $5$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 (\frac{371293}{759375})$

Etapa 3.3.2.1.10

Multiplique $- 13 (\frac{371293}{759375})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.10.1

Combine $- 13$ e $\frac{371293}{759375}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} + \frac{- 13 \cdot 371293}{759375}$

Etapa 3.3.2.1.10.2

Multiplique $- 13$ por $371293$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} + \frac{- 4826809}{759375}$

Etapa 3.3.2.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809}{759375}$

Etapa 3.3.2.2

Para escrever $- \frac{4826809}{759375}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809}{759375} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2278125$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Multiplique $\frac{4826809}{759375}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809 \cdot 3}{759375 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.3.2

Multiplique $759375$ por $3$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809 \cdot 3}{2278125}$

Etapa 3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618 - 4826809 \cdot 3}{2278125}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.1

Multiplique $- 4826809$ por $3$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618 - 14480427}{2278125}$

Etapa 3.3.2.5.2

Subtraia $14480427$ de $9653618$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{- 4826809}{2278125}$

Etapa 3.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{13}{15}) = - \frac{4826809}{2278125}$

Etapa 3.3.2.7

A resposta final é $- \frac{4826809}{2278125}$ .

$- \frac{4826809}{2278125}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $\frac{13}{15}$ em $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ é $(\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{13}{15}) \cup (\frac{13}{15}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 300 {(- 0.1)}^{4} - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 0.1$ à potência de $4$ .

$f'' (- 0.1) = 300 \cdot 0.0001 - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $300$ por $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 0.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 - 260 \cdot - 0.001$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 260$ por $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 + 0.26$

Etapa 5.2.2

Some $0.03$ e $0.26$ .

$f'' (- 0.1) = 0.29$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $0.29$ .

$0.29$

Etapa 5.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $0.29$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \frac{13}{15})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.4\overline{3}$ na expressão.

$f'' (0.4\overline{3}) = 300 {(0.4\overline{3})}^{4} - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $0.4\overline{3}$ à potência de $4$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 300 \cdot 0.03526049 - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $300$ por $0.03526049$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $0.4\overline{3}$ à potência de $3$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 260 \cdot 0.081\overline{370}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 260$ por $0.081\overline{370}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 21.15629629$

Etapa 6.2.2

Subtraia $21.15629629$ de $10.57\overline{814}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = - 10.57814814$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 10.57814814$ .

$- 10.57814814$

Etapa 6.3

Em $0.4\overline{3}$ , a segunda derivada é $- 10.57814814$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, \frac{13}{15})$ .

Decréscimo em $(0, \frac{13}{15})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{13}{15}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.9\overline{6}$ na expressão.

$f'' (0.9\overline{6}) = 300 {(0.9\overline{6})}^{4} - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.9\overline{6}$ à potência de $4$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 300 \cdot 0.87318641 - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $300$ por $0.87318641$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $0.9\overline{6}$ à potência de $3$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 260 \cdot 0.903\overline{296}$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 260$ por $0.903\overline{296}$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 234.85703703$

Etapa 7.2.2

Subtraia $234.85703703$ de $261.95592592$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 27.09888888$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $27.09888888$ .

$27.09888888$

Etapa 7.3

Em $0.9\overline{6}$ , a segunda derivada é $27.09888888$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{13}{15}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{13}{15}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$ .

$(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Etapa 9