Cálculo Exemplos

$f (x) = 20 x^{4} - 120 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x^{4} - 120 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{2})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{4}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 20 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $20$ .

$f' (x) = 80 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 120 x^{2})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 120 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 120 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 120 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 80 x^{3} - 120 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 80 x^{3} - 120 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 120$ .

$f' (x) = 80 x^{3} - 240 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $80 x^{3} - 240 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [80 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 240 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (80 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [80 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $80$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $80 x^{3}$ em relação a $x$ é $80 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 80 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 80 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $80$ .

$f'' (x) = 240 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 240 x)$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 240 x]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 240$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 240 x$ em relação a $x$ é $- 240 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 240 x^{2} - 240 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 240 x^{2} - 240 \cdot 1$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $- 240$ por $1$ .

$f'' (x) = 240 x^{2} - 240$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $240 x^{2} - 240$ .

$240 x^{2} - 240$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $240 x^{2} - 240 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$240 x^{2} - 240 = 0$

Etapa 2.2

Some $240$ aos dois lados da equação.

$240 x^{2} = 240$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $240 x^{2} = 240$ por $240$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $240 x^{2} = 240$ por $240$ .

$\frac{240 x^{2}}{240} = \frac{240}{240}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $240$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{240 x^{2}}{240} = \frac{240}{240}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{240}{240}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $240$ por $240$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $1$ em $f (x) = 20 x^{4} - 120 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 20 {(1)}^{4} - 120 {(1)}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 20 \cdot 1 - 120 {(1)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $20$ por $1$ .

$f (1) = 20 - 120 {(1)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 20 - 120 \cdot 1$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 120$ por $1$ .

$f (1) = 20 - 120$

Etapa 3.1.2.2

Subtraia $120$ de $20$ .

$f (1) = - 100$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $- 100$ .

$- 100$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $1$ em $f (x) = 20 x^{4} - 120 x^{2}$ é $(1, - 100)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1, - 100)$

Etapa 3.3

Substitua $- 1$ em $f (x) = 20 x^{4} - 120 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 20 {(- 1)}^{4} - 120 {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- 1) = 20 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $20$ por $1$ .

$f (- 1) = 20 - 120 {(- 1)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 20 - 120 \cdot 1$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique $- 120$ por $1$ .

$f (- 1) = 20 - 120$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $120$ de $20$ .

$f (- 1) = - 100$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $- 100$ .

$- 100$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 1$ em $f (x) = 20 x^{4} - 120 x^{2}$ é $(- 1, - 100)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1, - 100)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(1, - 100), (- 1, - 100)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.1$ na expressão.

$f'' (- 1.1) = 240 {(- 1.1)}^{2} - 240$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.1) = 240 \cdot 1.21 - 240$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $240$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 290.4 - 240$

Etapa 5.2.2

Subtraia $240$ de $290.4$ .

$f'' (- 1.1) = 50.4$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $50.4$ .

$50.4$

Etapa 5.3

Em $- 1.1$ , a segunda derivada é $50.4$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 240 {(0)}^{2} - 240$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 240 \cdot 0 - 240$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $240$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 240$

Etapa 6.2.2

Subtraia $240$ de $0$ .

$f'' (0) = - 240$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 240$ .

$- 240$

Etapa 6.3

Em $0$ , a segunda derivada é $- 240$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 1, 1)$ .

Decréscimo em $(- 1, 1)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.1$ na expressão.

$f'' (1.1) = 240 {(1.1)}^{2} - 240$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (1.1) = 240 \cdot 1.21 - 240$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $240$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = 290.4 - 240$

Etapa 7.2.2

Subtraia $240$ de $290.4$ .

$f'' (1.1) = 50.4$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $50.4$ .

$50.4$

Etapa 7.3

Em $1.1$ , a segunda derivada é $50.4$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 100), (1, - 100)$ .

$(- 1, - 100), (1, - 100)$

Etapa 9