Cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + 9 x^{2} - 53$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 53]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 53)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 53)$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 53$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 53$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $- 3 x^{2} + 18 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 18 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18 \cdot 1$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $18$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 18$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x + 18$ .

$- 6 x + 18$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 x + 18 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 6 x + 18 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $18$ dos dois lados da equação.

$- 6 x = - 18$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- 6 x = - 18$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- 6 x = - 18$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 18}{- 6}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $- 18$ por $- 6$ .

$x = 3$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3$ em $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = - {(3)}^{3} + 9 {(3)}^{2} - 53$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = - 1 \cdot 27 + 9 {(3)}^{2} - 53$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$f (3) = - 27 + 9 {(3)}^{2} - 53$

Etapa 3.1.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = - 27 + 9 \cdot 9 - 53$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $9$ por $9$ .

$f (3) = - 27 + 81 - 53$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Some $- 27$ e $81$ .

$f (3) = 54 - 53$

Etapa 3.1.2.2.2

Subtraia $53$ de $54$ .

$f (3) = 1$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $3$ em $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$ é $(3, 1)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(3, 1)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 3)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $2.9$ na expressão.

$f'' (2.9) = - 6 \cdot 2.9 + 18$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 6$ por $2.9$ .

$f'' (2.9) = - 17.4 + 18$

Etapa 5.2.2

Some $- 17.4$ e $18$ .

$f'' (2.9) = 0.6$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $0.6$ .

$0.6$

Etapa 5.3

Em $2.9$ , a segunda derivada é $0.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 3)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 3)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3.1$ na expressão.

$f'' (3.1) = - 6 \cdot 3.1 + 18$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $- 6$ por $3.1$ .

$f'' (3.1) = - 18.6 + 18$

Etapa 6.2.2

Some $- 18.6$ e $18$ .

$f'' (3.1) = - 0.6$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.6$ .

$- 0.6$

Etapa 6.3

Em $3.1$ , a segunda derivada é $- 0.6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(3, \infty)$ .

Decréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(3, 1)$ .

$(3, 1)$

Etapa 8