Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 12 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 36 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x)$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 72 x$ .

$12 x^{2} - 72 x$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 72 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 72 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $12 x$ de $12 x^{2} - 72 x$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $12 x$ de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 72 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $12 x$ de $- 72 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 6) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $12 x$ de $12 x (x) + 12 x (- 6)$ .

$12 x (x - 6) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 x (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 6$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = x^{4} - 12 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 12 {(0)}^{3}$

Etapa 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 12 \cdot 0$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 3.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x^{4} - 12 x^{3}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 3.3

Substitua $6$ em $f (x) = x^{4} - 12 x^{3}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$f (6) = 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (6) = 1296 - 12 \cdot 216$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $216$ .

$f (6) = 1296 - 2592$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $2592$ de $1296$ .

$f (6) = - 1296$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $- 1296$ .

$- 1296$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $6$ em $f (x) = x^{4} - 12 x^{3}$ é $(6, - 1296)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(6, - 1296)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (6, - 1296)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 72 \cdot - 0.1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 72 \cdot - 0.1$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $12$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 72 \cdot - 0.1$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 7.2$

Etapa 5.2.2

Some $0.12$ e $7.2$ .

$f'' (- 0.1) = 7.32$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $7.32$ .

$7.32$

Etapa 5.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $7.32$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, 6)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $12$ por $9$ .

$f'' (3) = 108 - 72 \cdot 3$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $3$ .

$f'' (3) = 108 - 216$

Etapa 6.2.2

Subtraia $216$ de $108$ .

$f'' (3) = - 108$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 108$ .

$- 108$

Etapa 6.3

Em $3$ , a segunda derivada é $- 108$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, 6)$ .

Decréscimo em $(0, 6)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(6, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $6.1$ na expressão.

$f'' (6.1) = 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $6.1$ à potência de $2$ .

$f'' (6.1) = 12 \cdot 37.21 - 72 \cdot 6.1$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $12$ por $37.21$ .

$f'' (6.1) = 446.52 - 72 \cdot 6.1$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 72$ por $6.1$ .

$f'' (6.1) = 446.52 - 439.2$

Etapa 7.2.2

Subtraia $439.2$ de $446.52$ .

$f'' (6.1) = 7.32$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $7.32$ .

$7.32$

Etapa 7.3

Em $6.1$ , a segunda derivada é $7.32$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(6, \infty)$ .

Acréscimo em $(6, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (6, - 1296)$ .

$(0, 0), (6, - 1296)$

Etapa 9