Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{2 x^{2} - x - 1}$

Etapa 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{2 x^{2} - x - 1}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 x^{2} - x - 1 \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 1.2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 1.2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Etapa 1.2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 1.2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$2 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 1 \geq 0$

Etapa 1.2.8.1.3

O lado esquerdo $20$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.8.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.2.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 {(0)}^{2} - (0) - 1 \geq 0$

Etapa 1.2.8.2.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 1.2.8.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$2 {(4)}^{2} - (4) - 1 \geq 0$

Etapa 1.2.8.3.3

O lado esquerdo $27$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{1}{2} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

$x < - \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{1}{2} < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 1.2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - \frac{1}{2}$ ou $x \geq 1$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - \frac{1}{2}, x \geq 1}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - \frac{1}{2}, x \geq 1}$

Etapa 2

Como o domínio não consiste em números reais apenas, $\sqrt{2 x^{2} - x - 1}$ não é contínuo em relação a todos os números reais.

Não contínuo

Etapa 3