Cálculo Exemplos

$y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

Etapa 1

Escreva $y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ como uma função.

$f (x) = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$24 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 18$ .

$24 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.5.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 + 0$

Etapa 2.1.5.2

Some $24 x^{2} - 36 x - 24$ e $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Fatore $12$ de $24 x^{2} - 36 x - 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Fatore $12$ de $24 x^{2}$ .

$12 (2 x^{2}) - 36 x - 24 = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $12$ de $- 36 x$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) - 24 = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $12$ de $- 24$ .

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Etapa 3.2.1.4

Fatore $12$ de $12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2) = 0$

Etapa 3.2.1.5

Fatore $12$ de $12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2)$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e cuja soma é $b = - 3$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x$ .

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Reescreva $- 3$ como $1$ mais $- 4$

$12 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$12 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

Etapa 3.2.2.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$12 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

Etapa 3.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$12 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$12 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

Etapa 3.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$12 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 3.4

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 3.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 3.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- \frac{1}{2}, 2$ .

$- \frac{1}{2}, 2$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.5$ na expressão.

$f' (- 1.5) = 24 {(- 1.5)}^{2} - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.5$ à potência de $2$ .

$f' (- 1.5) = 24 \cdot 2.25 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $24$ por $2.25$ .

$f' (- 1.5) = 54 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 36$ por $- 1.5$ .

$f' (- 1.5) = 54 + 54 - 24$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $54$ e $54$ .

$f' (- 1.5) = 108 - 24$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $24$ de $108$ .

$f' (- 1.5) = 84$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $84$ .

$84$

Etapa 6.3

Em $x = - 1.5$ , a derivada é $84$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \frac{1}{2})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 0.5, 2)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.75$ na expressão.

$f' (0.75) = 24 {(0.75)}^{2} - 36 \cdot 0.75 - 24$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.75$ à potência de $2$ .

$f' (0.75) = 24 \cdot 0.5625 - 36 \cdot 0.75 - 24$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $24$ por $0.5625$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 36 \cdot 0.75 - 24$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 36$ por $0.75$ .

$f' (0.75) = 13.5 - 27 - 24$

Etapa 7.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $27$ de $13.5$ .

$f' (0.75) = - 13.5 - 24$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $24$ de $- 13.5$ .

$f' (0.75) = - 37.5$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 37.5$ .

$- 37.5$

Etapa 7.3

Em $x = 0.75$ , a derivada é $- 37.5$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 0.5, 2)$ .

Decréscimo em $(- \frac{1}{2}, 2)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = 24 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3 - 24$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (3) = 24 \cdot 9 - 36 \cdot 3 - 24$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $24$ por $9$ .

$f' (3) = 216 - 36 \cdot 3 - 24$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 36$ por $3$ .

$f' (3) = 216 - 108 - 24$

Etapa 8.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Subtraia $108$ de $216$ .

$f' (3) = 108 - 24$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $24$ de $108$ .

$f' (3) = 84$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $84$ .

$84$

Etapa 8.3

Em $x = 3$ , a derivada é $84$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - \frac{1}{2}), (2, \infty)$

Decréscimo em: $(- \frac{1}{2}, 2)$

Etapa 10