Cálculo Exemplos

$y = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Etapa 1

Escreva $y = x - 4 \ln (3 x - 4)$ como uma função.

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 4)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4 \ln (3 x - 4)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \ln (3 x - 4)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x - 4$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Etapa 2.1.2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Etapa 2.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x - 4$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

Etapa 2.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Etapa 2.1.2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Etapa 2.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]))$

Etapa 2.1.2.6

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + 0))$

Etapa 2.1.2.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 + 0))$

Etapa 2.1.2.8

Some $3$ e $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \cdot 3)$

Etapa 2.1.2.9

Combine $\frac{1}{3 x - 4}$ e $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 4}$

Etapa 2.1.2.10

Combine $- 4$ e $\frac{3}{3 x - 4}$ .

$1 + \frac{- 4 \cdot 3}{3 x - 4}$

Etapa 2.1.2.11

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$1 + \frac{- 12}{3 x - 4}$

Etapa 2.1.2.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{12}{3 x - 4}$

Etapa 2.1.3

Combine os termos.

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Etapa 2.1.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{12}{3 x - 4}$

Etapa 2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 x - 4 - 12}{3 x - 4}$

Etapa 2.1.3.3

Subtraia $12$ de $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 x - 16 = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$3 x = 16$

Etapa 3.3.2

Divida cada termo em $3 x = 16$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Divida cada termo em $3 x = 16$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{16}{3}$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{16}{3}$ .

$\frac{16}{3}$

Etapa 5

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 x - 4 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 x = 4$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Etapa 6

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \frac{16}{3}) \cup (\frac{16}{3}, \infty)$

Etapa 7

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(1.3333334, \frac{16}{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $3.33333345$ na expressão.

$f' (3.33333345) = \frac{3 (3.33333345) - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.1.1

Multiplique $3$ por $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{10.00000035 - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

Etapa 8.2.1.2

Subtraia $16$ de $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{3 (3.33333345) - 4}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Multiplique $3$ por $3.33333345$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{10.00000035 - 4}$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $4$ de $10.00000035$ .

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{6.00000035}$

Etapa 8.2.3

Divida $- 5.99999965$ por $6.00000035$ .

$f' (3.33333345) = - 0.99999988$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $- 0.99999988$ .

$- 0.99999988$

Etapa 8.3

Em $x = 3.33333345$ , a derivada é $- 0.99999988$ . Por ser negativa, a função diminui em $(1.3333334, \frac{16}{3})$ .

Decréscimo em $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3}), (\frac{16}{3}, \infty)$

Etapa 10

Substitua um valor do intervalo $(\frac{16}{3}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $6.3333335$ na expressão.

$f' (6.3333335) = \frac{3 (6.3333335) - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.1.1

Multiplique $3$ por $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{19.0000005 - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

Etapa 10.2.1.2

Subtraia $16$ de $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{3 (6.3333335) - 4}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Multiplique $3$ por $6.3333335$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{19.0000005 - 4}$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $4$ de $19.0000005$ .

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{15.0000005}$

Etapa 10.2.3

Divida $3.0000005$ por $15.0000005$ .

$f' (6.3333335) = 0.20000002$

Etapa 10.2.4

A resposta final é $0.20000002$ .

$0.20000002$

Etapa 10.3

Em $x = 6.3333335$ , a derivada é $0.20000002$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{16}{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{16}{3}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 11

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(\frac{16}{3}, \infty)$

Decréscimo em: $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

Etapa 12