Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

Etapa 1

Escreva $y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ como uma função.

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $3 x^{2} - 16 x - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 16 x - 12$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Etapa 3.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ e cuja soma é $b = - 16$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $- 16$ de $- 16 x$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $- 16$ como $2$ mais $- 18$

$3 x^{2} + (2 - 18) x - 12 = 0$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 2 x - 18 x - 12 = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} + 2 x) - 18 x - 12 = 0$

Etapa 3.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x + 2) - 6 (3 x + 2) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 6) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 3.4

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 3.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 3.5

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 2) (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{2}{3}, 6$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- \frac{2}{3}, 6$ .

$- \frac{2}{3}, 6$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.6666667$ na expressão.

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.6666667$ à potência de $2$ .

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot 2.777777\overline{8} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $2.777777\overline{8}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 16$ por $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} + 26.6666672 - 12$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 6.2.2.1

Some $8.333333\overline{6}$ e $26.6666672$ .

$f' (- 1.6666667) = 35.00000086 - 12$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $12$ de $35.00000086$ .

$f' (- 1.6666667) = 23.00000086$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $23.00000086$ .

$23.00000086$

Etapa 6.3

Em $x = - 1.6666667$ , a derivada é $23.00000086$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \frac{2}{3})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 0.6666667, 6)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.\overline{6}$ na expressão.

$f' (2.\overline{6}) = 3 {(2.\overline{6})}^{2} - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $2.\overline{6}$ à potência de $2$ .

$f' (2.\overline{6}) = 3 \cdot 7.11111102 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $7.11111102$ .

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 16$ por $2.\overline{6}$ .

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 42.6666664 - 12$

Etapa 7.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 7.2.2.1

Subtraia $42.6666664$ de $21.33333306$ .

$f' (2.\overline{6}) = - 21.\overline{3} - 12$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $12$ de $- 21.\overline{3}$ .

$f' (2.\overline{6}) = - 33.\overline{3}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 33.\overline{3}$ .

$- 33.\overline{3}$

Etapa 7.3

Em $x = 2.\overline{6}$ , a derivada é $- 33.\overline{3}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 0.6666667, 6)$ .

Decréscimo em $(- \frac{2}{3}, 6)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(6, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = 3 {(7)}^{2} - 16 \cdot 7 - 12$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f' (7) = 3 \cdot 49 - 16 \cdot 7 - 12$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $3$ por $49$ .

$f' (7) = 147 - 16 \cdot 7 - 12$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 16$ por $7$ .

$f' (7) = 147 - 112 - 12$

Etapa 8.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 8.2.2.1

Subtraia $112$ de $147$ .

$f' (7) = 35 - 12$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $12$ de $35$ .

$f' (7) = 23$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $23$ .

$23$

Etapa 8.3

Em $x = 7$ , a derivada é $23$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(6, \infty)$ .

Acréscimo em $(6, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - \frac{2}{3}), (6, \infty)$

Decréscimo em: $(- \frac{2}{3}, 6)$

Etapa 10