Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ , $[0, 2]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 2]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 3.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$8 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 x - 2 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $8 x - 2$ e $0$ .

$f' (x) = 8 x - 2$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $8 x - 2$ .

$8 x - 2$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(0, 2)$ .

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(0, 2)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(0, 2)$ , porque a derivada é contínua em $(0, 2)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[0, 2]$ e diferenciável em $(0, 2)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[0, 2]$ e diferenciável em $(0, 2)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[0, 2]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 4 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 7.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Etapa 7.2.2.2

Some $0$ e $3$ .

$f (0) = 3$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[0, 2]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 4 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 3$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 4 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 3$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (2) = 16 - 2 \cdot 2 + 3$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (2) = 16 - 4 + 3$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 8.2.2.1

Subtraia $4$ de $16$ .

$f (2) = 12 + 3$

Etapa 8.2.2.2

Some $12$ e $3$ .

$f (2) = 15$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $15$ .

$15$

Etapa 9

Resolva $8 x - 2 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $8 x - 2 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $\frac{(15) - (3)}{(2) - (0)}$ .

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Etapa 9.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$8 x - 2 = \frac{15 - 3}{2 - (0)}$

Etapa 9.1.1.2

Subtraia $3$ de $15$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2 - (0)}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2 + 0}$

Etapa 9.1.2.2

Some $2$ e $0$ .

$8 x - 2 = \frac{12}{2}$

Etapa 9.1.3

Divida $12$ por $2$ .

$8 x - 2 = 6$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$8 x = 6 + 2$

Etapa 9.2.2

Some $6$ e $2$ .

$8 x = 8$

Etapa 9.3

Divida cada termo em $8 x = 8$ por $8$ e simplifique.

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Etapa 9.3.1

Divida cada termo em $8 x = 8$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.3.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 9.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

Etapa 9.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{8}$

Etapa 9.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.3.1

Divida $8$ por $8$ .

$x = 1$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = 1$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 0$ e $b = 2$

Etapa 11