Cálculo Exemplos

$y = x \sqrt{4 - x}$

Etapa 1

Escreva $y = x \sqrt{4 - x}$ como uma função.

$f (x) = x \sqrt{4 - x}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.8.3

Mova ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.14.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.14.2

Combine $\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot - 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.14.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.14.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{- 1 \cdot x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.14.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{- x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.14.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.1.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.16

Multiplique ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.1.1.17

Para escrever ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.18

Combine ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.20

Multiplique ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.20.1

Mova ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.20.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.20.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.20.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.20.5

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.21

Simplifique ${(4 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.22

Mova $2$ para a esquerda de $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.23

Simplifique.

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Etapa 2.1.1.23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot 4 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.23.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.23.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.23.2.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.23.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8 - 2 x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.23.2.2

Subtraia $2 x$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.23.3

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x) + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.23.4

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.23.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.23.6

Reescreva $- (3 x - 8)$ como $- 1 (3 x - 8)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.23.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x - 8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x - 8$ e $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique os expoentes em ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.5.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.5.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.5.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.5.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.5.6.1

Some $3$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.5.6.2

Mova $3$ para a esquerda de ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.11.3

Mova ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.13

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.14

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.16

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.16.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.16.2

Multiplique $3 x - 8$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.18

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.18.1

Multiplique $3 x - 8$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{4 - x}$

Etapa 2.1.2.18.2

Multiplique $\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(4 - x) \cdot 2}$

Etapa 2.1.2.18.3

Mova $2$ para a esquerda de $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (4 - x)}$

Etapa 2.1.2.19

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.19.2.1

Deixe $u_{2} = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Substitua $u_{2}$ em todas as ocorrências de ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.19.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2.1.2

Multiplique $u_{2}$ por $u_{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.19.2.1.2.1

Mova $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2.1.2.2

Multiplique $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.19.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.19.2.3.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.19.2.3.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.19.2.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (4 - x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2.3.1.2

Simplifique.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (4 - x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 \cdot 4 + 6 (- x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2.3.1.4

Multiplique $6$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 + 6 (- x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 - 6 x + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2.3.2

Subtraia $8$ de $24$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 x + 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.2.3.3

Some $- 6 x$ e $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.19.3.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 + 2 (- x)}$

Etapa 2.1.2.19.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 - 2 x}$

Etapa 2.1.2.19.3.3

Reescreva $\frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 - 2 x}$ como um produto.

$f'' (x) = - (\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{8 - 2 x})$

Etapa 2.1.2.19.3.4

Multiplique $\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{8 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (8 - 2 x)}$

Etapa 2.1.2.19.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.19.4.1

Fatore $2$ de $8 - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.19.4.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4) - 2 x)}$

Etapa 2.1.2.19.4.1.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4) + 2 (- x))}$

Etapa 2.1.2.19.4.1.3

Fatore $2$ de $2 (4) + 2 (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (4 - x))}$

Etapa 2.1.2.19.4.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.19.4.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (4 - x)}$

Etapa 2.1.2.19.4.2.2

Eleve $4 - x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 ((4 - x) {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 2.1.2.19.4.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.2.19.4.2.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.2.19.4.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 2.1.2.19.4.2.6

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.1.2.19.5

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.1.2.19.6

Reescreva $16$ como $- 1 (- 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.1.2.19.7

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{- (3 x - 16)}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.1.2.19.8

Reescreva $- (3 x - 16)$ como $- 1 (3 x - 16)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1 (3 x - 16)}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.1.2.19.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.1.2.19.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 2.1.2.19.11

Multiplique $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 x - 16 = 0$

Etapa 2.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$3 x = 16$

Etapa 2.2.3.2

Divida cada termo em $3 x = 16$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Divida cada termo em $3 x = 16$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Etapa 2.2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

Etapa 2.2.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{16}{3}$

Etapa 2.2.4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = x \sqrt{4 - x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o radicando em $\sqrt{4 - x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$4 - x \geq 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 4$

Etapa 3.2.2

Divida cada termo em $- x \geq - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Divida cada termo em $- x \geq - 4$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x \leq 4$

Etapa 3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 4]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq 4}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 4]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq 4}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 4]$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 4]$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{3 (0) - 16}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $4$ de $3 (0)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) - 16}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.2

Fatore $4$ de $- 16$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 4 \cdot - 4}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.3

Fatore $4$ de $4 (3 \cdot (0)) + 4 (- 4)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Fatore $4$ de $4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 ({(4 - (0))}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 5.2.4.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.4.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot (0) - 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 - 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.5.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Subtraia $0$ de $4$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{4^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5.2.6.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 5.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 5.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{3}}$

Etapa 5.2.6.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{- 4}{8}$

Etapa 5.2.7

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$f'' (0) = \frac{4 (- 1)}{8}$

Etapa 5.2.7.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.2.7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

Etapa 5.2.7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.8

A resposta final é $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 4]$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 4]$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6