Cálculo Exemplos

$y = 5 x^{2} - x - 9$

Etapa 1

Escreva $y = 5 x^{2} - x - 9$ como uma função.

$f (x) = 5 x^{2} - x - 9$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$10 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.1.4.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 x - 1 + 0$

Etapa 2.1.1.4.2

Some $10 x - 1$ e $0$ .

$f' (x) = 10 x - 1$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 + 0$

Etapa 2.1.2.3.2

Some $10$ e $0$ .

$f'' (x) = 10$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $10$ .

$10$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $10 = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$10 = 0$

Etapa 2.2.2

Como $10 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

O gráfico tem concavidade para cima porque a segunda derivada é positiva.

O gráfico tem concavidade para cima

Etapa 5