Cálculo Exemplos

$g (x) = 3 x^{2} - x^{3}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$6 x - (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$6 x - 3 x^{2}$

Etapa 1.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 x + 6 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x + 6$ .

$- 6 x + 6$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 x + 6 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 6 x + 6 = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- 6 x = - 6$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $- 6 x = - 6$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $- 6 x = - 6$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 6}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Divida $- 6$ por $- 6$ .

$x = 1$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$g'' (0) = - 6 \cdot 0 + 6$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$g'' (0) = 0 + 6$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $6$ .

$g'' (0) = 6$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, 1)$ porque $g'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, 1)$ , já que $g'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$g'' (4) = - 6 \cdot 4 + 6$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$g'' (4) = - 24 + 6$

Etapa 5.2.2

Some $- 24$ e $6$ .

$g'' (4) = - 18$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 18$ .

$- 18$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(1, \infty)$ porque $g'' (4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(1, \infty)$ , já que $g'' (x)$ é negativo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, 1)$ , já que $g'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(1, \infty)$ , já que $g'' (x)$ é negativo

Etapa 7