Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

Etapa 1.1.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1.2.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.10

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.11

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.12

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2.13

Some $2 x^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Etapa 1.1.2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.2.4.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

Etapa 1.1.2.4.2.2

Some $\frac{2}{x^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2}{x^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 2.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ e ${(- 2)}^{3}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Fatore $- 2$ de $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.1.3.1

Fatore $- 2$ de ${(- 2)}^{3}$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

Etapa 4.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ e ${(2)}^{3}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.1.2.1

Fatore $2$ de ${(2)}^{3}$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Etapa 5.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Etapa 5.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 5.2.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7