Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{3 - x}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 - x}$ como ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.8.3

Mova ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.10

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.14.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.14.2

Combine $\frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot - 1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.14.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.14.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{- 1 \cdot x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.14.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{- x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.14.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.1.1.16

Multiplique ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.1.17

Para escrever ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.18

Combine ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.20

Multiplique ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.20.1

Mova ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.20.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.20.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.20.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- x + {(3 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.20.5

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.21

Simplifique ${(3 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{- x + (3 - x) \cdot 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.22

Mova $2$ para a esquerda de $3 - x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot (3 - x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.23

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot 3 + 2 (- x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.23.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.23.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.23.2.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{- x + 6 + 2 (- x)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.23.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x + 6 - 2 x}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.23.2.2

Subtraia $2 x$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x + 6}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.23.3

Fatore $3$ de $- 3 x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.23.3.1

Fatore $3$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x) + 6}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.23.3.2

Fatore $3$ de $6$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x) + 3 (2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.23.3.3

Fatore $3$ de $3 (- x) + 3 (2)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.23.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (x) + 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.23.5

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (x) - 1 \cdot - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.23.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.23.7

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 1 (x - 2))}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.1.23.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{3 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Como $- \frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3 (x - 2)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x - 2}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 2$ e $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique os expoentes em ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.5.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.5.4.2

Multiplique ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) \frac{d}{d x} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2} \cdot {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{{(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.11.3

Mova ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 - x))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.13

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.14

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} - (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.16

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.16.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.16.2

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.18

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.18.1

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{3 - x}$

Etapa 1.1.2.18.2

Multiplique $\frac{{(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 - x}$ por $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})) \cdot 3}{(3 - x) \cdot 2}$

Etapa 1.1.2.18.3

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.18.3.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{(3 - x) \cdot 2}$

Etapa 1.1.2.18.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $3 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot (3 - x)}$

Etapa 1.1.2.19

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (3 - x)}$

Etapa 1.1.2.19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.3.1

Fatore $3$ de $3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + 3 (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.3.1.1

Fatore $3$ de $3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.1.2

Fatore $3$ de $3 (x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.1.3

Fatore $3$ de $3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((x - 2) \frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(3 - x)}^{\frac{1}{2}} + (x - 2) (\frac{1}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.2

Deixe $u_{2} = {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ . Substitua $u_{2}$ em todas as ocorrências de ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.2.2

Multiplique $u_{2}$ por $u_{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.3.2.2.1

Mova $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.2.2.2

Multiplique $u_{2}$ por $u_{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} + x - 2}{2 u_{2}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.3.4.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.3.4.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.3.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 (3 - x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.4.1.2

Simplifique.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 (3 - x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{2 \cdot 3 + 2 (- x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.4.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{6 + 2 (- x) + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{6 - 2 x + x - 2}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.4.2

Subtraia $2$ de $6$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 2 x + x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.3.4.3

Some $- 2 x$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.4.1

Combine $3$ e $\frac{- x + 4}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 3 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 + 2 (- x)}$

Etapa 1.1.2.19.4.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 - 2 x}$

Etapa 1.1.2.19.4.4

Reescreva $\frac{\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{6 - 2 x}$ como um produto.

$f'' (x) = - (\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 - 2 x})$

Etapa 1.1.2.19.4.5

Multiplique $\frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{6 - 2 x}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (6 - 2 x)}$

Etapa 1.1.2.19.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.5.1

Fatore $2$ de $6 - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.5.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3) - 2 x)}$

Etapa 1.1.2.19.5.1.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3) + 2 (- x))}$

Etapa 1.1.2.19.5.1.3

Fatore $2$ de $2 (3) + 2 (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (3 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{2 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (3 - x))}$

Etapa 1.1.2.19.5.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.5.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 - x)}$

Etapa 1.1.2.19.5.2.2

Eleve $3 - x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 ((3 - x) {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.1.2.19.5.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.19.5.2.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.19.5.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.19.5.2.6

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- x + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.2.19.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (x) + 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.2.19.7

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (x) - 1 \cdot - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.2.19.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (x - 4))}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.2.19.9

Reescreva $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 1 (x - 4))}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.2.19.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.2.19.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 1.1.2.19.12

Multiplique $\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 (x - 4) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $3 (x - 4) = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Divida cada termo em $3 (x - 4) = 0$ por $3$ .

$\frac{3 (x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 1.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x - 4)}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 1.2.3.1.2.1.2

Divida $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{3}$

Etapa 1.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{3 (x - 4)}{4 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = x \sqrt{3 - x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o radicando em $\sqrt{3 - x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$3 - x \geq 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 3$

Etapa 2.2.2

Divida cada termo em $- x \geq - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Divida cada termo em $- x \geq - 3$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x \leq 3$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 3]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq 3}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 3]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq 3}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 3]$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 3]$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{3 ((0) - 4)}{4 {(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $4$ de $3 ((0) - 4)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 1))}{4 {(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Fatore $4$ de $4 {(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 1))}{4 ({(3 - (0))}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 - 1))}{4 {(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{3 (0 - 1)}{{(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 1}{{(3 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.4

Subtraia $0$ de $3$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (0) = \frac{- 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.2.7

Mova $3^{1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}}$

Etapa 4.2.8

Multiplique $3^{\frac{3}{2}}$ por $3^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2} - 1}}$

Etapa 4.2.8.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.8.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 4.2.8.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 4.2.8.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{3 - 2}{2}}}$

Etapa 4.2.8.5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2.9

A resposta final é $- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 3]$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 3]$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5