Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 5 x$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 5 x$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 5 x$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Etapa 2.1.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Etapa 2.1.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Etapa 2.1.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Etapa 2.1.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Etapa 2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Etapa 2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 5 x)$

Etapa 2.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 5 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 5 \cdot 1$

Etapa 2.1.1.4.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 5$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 2.1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 2.1.2.2.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + 0$

Etapa 2.1.2.3.2

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - 4$ .

$2 x - 4$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - 4 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 x - 4 = 0$

Etapa 2.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$2 x = 4$

Etapa 2.2.3

Divida cada termo em $2 x = 4$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Divida cada termo em $2 x = 4$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{2}$

Etapa 2.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Divida $4$ por $2$ .

$x = 2$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 2 (0) - 4$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Etapa 5.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 2)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 2 (4) - 4$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (4) = 8 - 4$

Etapa 6.2.2

Subtraia $4$ de $8$ .

$f'' (4) = 4$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8