Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 2$ e $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x - 2 - x - 1 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.3.2.1

Combine os termos opostos em $x - 2 - x - 1 \cdot 2$ .

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Etapa 1.1.1.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{0 - 2 - 1 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$f' (x) = \frac{- 2 - 1 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$f' (x) = \frac{- 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1.2.1.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{4}{{(x - 2)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1.2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ como ${({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} {({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$

Etapa 1.1.2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.1.2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.1.2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{- 2}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 2$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$f'' (x) = - 4 (- 2 {(x - 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$f'' (x) = 8 ({(x - 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

Etapa 1.1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Etapa 1.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Etapa 1.1.2.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3} (1 + 0)$

Etapa 1.1.2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.5.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{{(x - 2)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.4.2

Combine $8$ e $\frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{8}{{(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{8}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{8}{{(x - 2)}^{3}} = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{8}{{(x - 2)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 = 0$

Etapa 1.2.3

Como $8 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$ .

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Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x + 2}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{8}{{((0) - 2)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{8}{- 8}$

Etapa 4.2.2

Divida $8$ por $- 8$ .

$f'' (0) = - 1$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 2)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = \frac{8}{{((4) - 2)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1.1

Subtraia $2$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{8}{2^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{8}{8}$

Etapa 5.2.2

Divida $8$ por $8$ .

$f'' (4) = 1$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7