Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$15 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 10$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Etapa 1.1.1.4.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $15$ por $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x^{4}$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $4$ por $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 30 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$60 x^{3} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 30$ .

$60 x^{3} - 60 x + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.2.4.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$60 x^{3} - 60 x + 0$

Etapa 1.1.2.4.2

Some $60 x^{3} - 60 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 x$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $60 x^{3} - 60 x$ .

$60 x^{3} - 60 x$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $60 x^{3} - 60 x = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$60 x^{3} - 60 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $60 x$ de $60 x^{3} - 60 x$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $60 x$ de $60 x^{3}$ .

$60 x (x^{2}) - 60 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $60 x$ de $- 60 x$ .

$60 x (x^{2}) + 60 x (- 1) = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $60 x$ de $60 x (x^{2}) + 60 x (- 1)$ .

$60 x (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$60 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore.

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Etapa 1.2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$60 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$60 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $60 x (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = 60 {(- 4)}^{3} - 60 \cdot - 4$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = 60 \cdot - 64 - 60 \cdot - 4$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $60$ por $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 3840 - 60 \cdot - 4$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 60$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 3840 + 240$

Etapa 4.2.2

Some $- 3840$ e $240$ .

$f'' (- 4) = - 3600$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 3600$ .

$- 3600$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5$ na expressão.

$f'' (- 0.5) = 60 {(- 0.5)}^{3} - 60 \cdot - 0.5$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 0.5$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.5) = 60 \cdot - 0.125 - 60 \cdot - 0.5$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $60$ por $- 0.125$ .

$f'' (- 0.5) = - 7.5 - 60 \cdot - 0.5$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 60$ por $- 0.5$ .

$f'' (- 0.5) = - 7.5 + 30$

Etapa 5.2.2

Some $- 7.5$ e $30$ .

$f'' (- 0.5) = 22.5$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $22.5$ .

$22.5$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 1, 0)$ porque $f'' (- 0.5)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 1, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.5$ na expressão.

$f'' (0.5) = 60 {(0.5)}^{3} - 60 \cdot 0.5$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$f'' (0.5) = 60 \cdot 0.125 - 60 \cdot 0.5$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $60$ por $0.125$ .

$f'' (0.5) = 7.5 - 60 \cdot 0.5$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 60$ por $0.5$ .

$f'' (0.5) = 7.5 - 30$

Etapa 6.2.2

Subtraia $30$ de $7.5$ .

$f'' (0.5) = - 22.5$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 22.5$ .

$- 22.5$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, 1)$ porque $f'' (0.5)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 60 {(4)}^{3} - 60 \cdot 4$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = 60 \cdot 64 - 60 \cdot 4$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $60$ por $64$ .

$f'' (4) = 3840 - 60 \cdot 4$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 60$ por $4$ .

$f'' (4) = 3840 - 240$

Etapa 7.2.2

Subtraia $240$ de $3840$ .

$f'' (4) = 3600$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $3600$ .

$3600$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 1, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9