Cálculo Exemplos

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Etapa 1

Escreva $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ como uma função.

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Etapa 2.1.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Etapa 2.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $- \frac{1}{32}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{32}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.1.1.2.2

Combine $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ e $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x)$

Etapa 2.1.1.2.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

Etapa 2.1.1.2.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

Etapa 2.1.1.2.4.3

Combine $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ e $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{32}$

Etapa 2.1.1.2.4.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.4.4.1

Fatore $2$ de $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{32}$

Etapa 2.1.1.2.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.4.4.2.1

Fatore $2$ de $32$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 (16)}$

Etapa 2.1.1.2.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 \cdot 16}$

Etapa 2.1.1.2.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

Etapa 2.1.1.2.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.4.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

Etapa 2.1.1.2.4.5.2

Reordene os fatores em $e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ .

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- \frac{1}{16}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$ .

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ .

$- \frac{1}{16} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{32}}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x^{2}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Como $- \frac{1}{32}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{32}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.2.1

Combine $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ e $\frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{16} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.4.3

Combine $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32}$ e $x$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}}) x}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.8

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.8.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.8.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.8.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.8.2.2.1

Fatore $2$ de $32$ .

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 (16)} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 \cdot 16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{16} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \cdot 1)$

Etapa 2.1.2.10

Multiplique $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}})$

Etapa 2.1.2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}) - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Etapa 2.1.2.11.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{16}) \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Etapa 2.1.2.11.2.2

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Etapa 2.1.2.11.2.3

Multiplique $\frac{1}{16}$ por $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16 \cdot 16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Etapa 2.1.2.11.2.4

Multiplique $16$ por $16$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

Etapa 2.1.2.11.2.5

Combine $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ e $\frac{1}{16}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$

Etapa 2.2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = - 4, 4$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2} e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Mova $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 5.2.1.4

Cancele o fator comum de $36$ e $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.1

Fatore $4$ de $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 5.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.4.2.1

Fatore $4$ de $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 5.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 5.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $4$ de $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 5.2.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.6.1

Fatore $4$ de $256 e^{\frac{9}{8}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 5.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 5.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 5.2.1.7

Mova $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}$

Etapa 5.2.1.8

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

Etapa 5.2.1.9

Cancele o fator comum de $36$ e $32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.9.1

Fatore $4$ de $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

Etapa 5.2.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.9.2.1

Fatore $4$ de $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Etapa 5.2.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Etapa 5.2.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

Etapa 5.2.2

Para escrever $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 5.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $64 e^{\frac{9}{8}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $4$ por $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Etapa 5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- 6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Etapa 5.2.5

Subtraia $4$ de $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Etapa 5.2.6

A resposta final é $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 4)$ porque $f'' (- 6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 4, 4)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 6.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 6.2.1.2.2

Divida $0$ por $32$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{- 0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 6.2.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 e^{0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 6.2.1.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = \frac{0 \cdot 1}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$f'' (0) = \frac{0}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 6.2.1.4

Divida $0$ por $256$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 6.2.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{0}{32}}}{16}$

Etapa 6.2.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1.6.1

Divida $0$ por $32$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- 0}}{16}$

Etapa 6.2.1.6.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{0}}{16}$

Etapa 6.2.1.6.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 0 - \frac{1}{16}$

Etapa 6.2.2

Subtraia $\frac{1}{16}$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{16}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{16}$ .

$- \frac{1}{16}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 4, 4)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 4, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(4, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2} e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Mova $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2}}{256 e^{\frac{6^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = \frac{6^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 7.2.1.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 7.2.1.4

Cancele o fator comum de $36$ e $32$ .

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Etapa 7.2.1.4.1

Fatore $4$ de $36$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 7.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.4.2.1

Fatore $4$ de $32$ .

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 7.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 7.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 7.2.1.5

Fatore $4$ de $36$ .

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 7.2.1.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.1.6.1

Fatore $4$ de $256 e^{\frac{9}{8}}$ .

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 7.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 7.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

Etapa 7.2.1.7

Mova $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{6^{2}}{32}}}$

Etapa 7.2.1.8

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

Etapa 7.2.1.9

Cancele o fator comum de $36$ e $32$ .

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Etapa 7.2.1.9.1

Fatore $4$ de $36$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

Etapa 7.2.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.9.2.1

Fatore $4$ de $32$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Etapa 7.2.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

Etapa 7.2.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

Etapa 7.2.2

Para escrever $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 7.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $64 e^{\frac{9}{8}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $4$ por $16$ .

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Etapa 7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Etapa 7.2.5

Subtraia $4$ de $9$ .

$f'' (6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Etapa 7.2.6

A resposta final é $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ .

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(4, \infty)$ porque $f'' (6)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 4)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 4, 4)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(4, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 9