Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{3} - 24 x - 5$

Etapa 1

Escreva $y = 2 x^{3} - 24 x - 5$ como uma função.

$f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 5$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 24 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$6 x^{2} - 24 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} - 24 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $6 x^{2} - 24$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 24$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 24]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.2.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x + 0$

Etapa 2.2.3.2

Some $12 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x$ .

$12 x$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x = 0$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $12 x = 0$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $12 x = 0$ por $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Divida $0$ por $12$ .

$x = 0$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 5$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 2 {(0)}^{3} - 24 \cdot 0 - 5$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 24 \cdot 0 - 5$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 24 \cdot 0 - 5$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 5$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$f (0) = - 5$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 5$ é $(0, - 5)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, - 5)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 12 (- 0.1)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $12$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.2$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $- 1.2$ .

$- 1.2$

Etapa 6.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 1.2$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = 12 (0.1)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $12$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 1.2$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $1.2$ .

$1.2$

Etapa 7.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $1.2$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(0, - 5)$ .

$(0, - 5)$

Etapa 9