Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 6 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $y = x^{4} - 6 x^{2}$ como uma função.

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 6 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 (2 x)$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 2.2.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \cdot 1$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 12$ .

$12 x^{2} - 12$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 12 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 3.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$12 x^{2} = 12$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $12 x^{2} = 12$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $12 x^{2} = 12$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{12}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Divida $12$ por $12$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 3.5

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

Substitua $1$ em $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 6 {(1)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 6 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 6$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $6$ de $1$ .

$f (1) = - 5$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $1$ em $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ é $(1, - 5)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1, - 5)$

Etapa 4.3

Substitua $- 1$ em $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- 1) = 1 - 6 {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 1 - 6 \cdot 1$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f (- 1) = 1 - 6$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $6$ de $1$ .

$f (- 1) = - 5$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- 1$ em $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ é $(- 1, - 5)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1, - 5)$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(1, - 5), (- 1, - 5)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.1$ na expressão.

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} - 12$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $12$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 12$

Etapa 6.2.2

Subtraia $12$ de $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 2.52$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2.52$ .

$2.52$

Etapa 6.3

Em $- 1.1$ , a segunda derivada é $2.52$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 12$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 12$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 12$

Etapa 7.2.2

Subtraia $12$ de $0$ .

$f'' (0) = - 12$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

Etapa 7.3

Em $0$ , a segunda derivada é $- 12$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 1, 1)$ .

Decréscimo em $(- 1, 1)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1.1$ na expressão.

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} - 12$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $12$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = 14.52 - 12$

Etapa 8.2.2

Subtraia $12$ de $14.52$ .

$f'' (1.1) = 2.52$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $2.52$ .

$2.52$

Etapa 8.3

Em $1.1$ , a segunda derivada é $2.52$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 5), (1, - 5)$ .

$(- 1, - 5), (1, - 5)$

Etapa 10