Cálculo Exemplos

${(x^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 1

Escreva ${(x^{2} - 1)}^{3}$ como uma função.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 2.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 2.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 2.1.1.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

Etapa 2.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

Etapa 2.1.1.2.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

Etapa 2.1.1.2.4.3

Reordene os fatores de $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}] + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.4.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$6 (x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 (x^{1} x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 (x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 (x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.8

Some $1$ e $1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1)$

Etapa 2.1.2.10

Multiplique ${(x^{2} - 1)}^{2}$ por $1$ .

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Etapa 2.1.2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Etapa 2.1.2.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Etapa 2.1.2.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2.11.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.4.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.4.1.1

Mova $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2.11.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2.11.4.1.3

Some $2$ e $2$ .

$6 (x^{4} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2.11.4.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$6 (4 \cdot x^{4}) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2.11.4.3

Multiplique $4$ por $6$ .

$24 x^{4} + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2.11.4.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$24 x^{4} + 6 (x^{2} \cdot - 4) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2.11.4.5

Mova $- 4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$24 x^{4} + 6 (- 4 \cdot x^{2}) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2.11.4.6

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2.11.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.5.1

Reescreva ${(x^{2} - 1)}^{2}$ como $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.2.11.5.2

Expanda $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.2.11.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1))$

Etapa 2.1.2.11.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Etapa 2.1.2.11.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.5.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.5.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Etapa 2.1.2.11.5.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Etapa 2.1.2.11.5.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Etapa 2.1.2.11.5.3.1.3

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Etapa 2.1.2.11.5.3.1.4

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Etapa 2.1.2.11.5.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1)$

Etapa 2.1.2.11.5.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

Etapa 2.1.2.11.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} + 6 (- 2 x^{2}) + 6 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.11.5.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.11.5.5.1

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.11.5.5.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6$

Etapa 2.1.2.11.6

Some $24 x^{4}$ e $6 x^{4}$ .

$30 x^{4} - 24 x^{2} - 12 x^{2} + 6$

Etapa 2.1.2.11.7

Subtraia $12 x^{2}$ de $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$ .

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$

Etapa 2.2.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$30 u^{2} - 36 u + 6 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2.2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Fatore $6$ de $30 u^{2} - 36 u + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Fatore $6$ de $30 u^{2}$ .

$6 (5 u^{2}) - 36 u + 6 = 0$

Etapa 2.2.3.1.2

Fatore $6$ de $- 36 u$ .

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 = 0$

Etapa 2.2.3.1.3

Fatore $6$ de $6$ .

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 (1) = 0$

Etapa 2.2.3.1.4

Fatore $6$ de $6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u)$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1) = 0$

Etapa 2.2.3.1.5

Fatore $6$ de $6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1)$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ e cuja soma é $b = - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1.1.1

Fatore $- 6$ de $- 6 u$ .

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

Etapa 2.2.3.2.1.1.2

Reescreva $- 6$ como $- 1$ mais $- 5$

$6 (5 u^{2} + (- 1 - 5) u + 1) = 0$

Etapa 2.2.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (5 u^{2} - 1 u - 5 u + 1) = 0$

Etapa 2.2.3.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$6 ((5 u^{2} - 1 u) - 5 u + 1) = 0$

Etapa 2.2.3.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$6 (u (5 u - 1) - (5 u - 1)) = 0$

Etapa 2.2.3.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 u - 1$ .

$6 ((5 u - 1) (u - 1)) = 0$

Etapa 2.2.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$

Etapa 2.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$5 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 2.2.5

Defina $5 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Defina $5 u - 1$ como igual a $0$ .

$5 u - 1 = 0$

Etapa 2.2.5.2

Resolva $5 u - 1 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$5 u = 1$

Etapa 2.2.5.2.2

Divida cada termo em $5 u = 1$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $5 u = 1$ por $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 2.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Etapa 2.2.5.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{5}$

Etapa 2.2.6

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 2.2.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 2.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{5}, 1$

Etapa 2.2.8

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 2.2.9

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{5}$

Etapa 2.2.10

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.10.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Etapa 2.2.10.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.10.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{5}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Etapa 2.2.10.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Etapa 2.2.10.2.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 2.2.10.2.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.10.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 2.2.10.2.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 2.2.10.2.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 2.2.10.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.2.10.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 2.2.10.2.4.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.10.2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2.10.2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.10.2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.10.2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.10.2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.10.2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 2.2.10.2.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 2.2.10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.10.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 2.2.10.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 2.2.10.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Etapa 2.2.11

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Etapa 2.2.12

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.12.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 1$

Etapa 2.2.12.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.2.12.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.2.12.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.12.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.2.12.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.2.12.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 2.2.13

A solução para $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ é $x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ .

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{5}, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = 30 {(- 4)}^{4} - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$f'' (- 4) = 30 \cdot 256 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $30$ por $256$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $16$ .

$f'' (- 4) = 7680 - 576 + 6$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $576$ de $7680$ .

$f'' (- 4) = 7104 + 6$

Etapa 5.2.2.2

Some $7104$ e $6$ .

$f'' (- 4) = 7110$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $7110$ .

$7110$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.72$ na expressão.

$f'' (- 0.72) = 30 {(- 0.72)}^{4} - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.72$ à potência de $4$ .

$f'' (- 0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $30$ por $0.26873856$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $- 0.72$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $0.5184$ .

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $18.6624$ de $8.0621568$ .

$f'' (- 0.72) = - 10.6002432 + 6$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 10.6002432$ e $6$ .

$f'' (- 0.72) = - 4.6002432$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 4.6002432$ .

$- 4.6002432$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ porque $f'' (- 0.72)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 30 {(0)}^{4} - 36 {(0)}^{2} + 6$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 30 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $30$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

Etapa 7.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 6$

Etapa 7.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 6$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Etapa 7.2.2.2

Some $0$ e $6$ .

$f'' (0) = 6$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.72$ na expressão.

$f'' (0.72) = 30 {(0.72)}^{4} - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $0.72$ à potência de $4$ .

$f'' (0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $30$ por $0.26873856$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

Etapa 8.2.1.3

Eleve $0.72$ à potência de $2$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $0.5184$ .

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Subtraia $18.6624$ de $8.0621568$ .

$f'' (0.72) = - 10.6002432 + 6$

Etapa 8.2.2.2

Some $- 10.6002432$ e $6$ .

$f'' (0.72) = - 4.6002432$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 4.6002432$ .

$- 4.6002432$

Etapa 8.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ porque $f'' (0.72)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 9

Substitua qualquer número do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 30 {(4)}^{4} - 36 {(4)}^{2} + 6$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f'' (4) = 30 \cdot 256 - 36 {(4)}^{2} + 6$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $30$ por $256$ .

$f'' (4) = 7680 - 36 {(4)}^{2} + 6$

Etapa 9.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $16$ .

$f'' (4) = 7680 - 576 + 6$

Etapa 9.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Subtraia $576$ de $7680$ .

$f'' (4) = 7104 + 6$

Etapa 9.2.2.2

Some $7104$ e $6$ .

$f'' (4) = 7110$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $7110$ .

$7110$

Etapa 9.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 10

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 1)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(1, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 11