Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 10 x - 9$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 10 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$2 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 10 + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $2 x + 10$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x + 10$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [10]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.1.2.3.2

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2$ .

$2$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$2 = 0$

Etapa 1.2.2

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

O gráfico tem concavidade para cima porque a segunda derivada é positiva.

O gráfico tem concavidade para cima

Etapa 4