Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x)$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 4 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$12 x^{2} = 4$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $12 x^{2} = 4$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $12 x^{2} = 4$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

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Etapa 1.2.3.3.1.1

Fatore $4$ de $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Etapa 1.2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.3.1.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Etapa 1.2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 1.2.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 1.2.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 1.2.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 1.2.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 1.2.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = 12 {(- 3)}^{2} - 4$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3) = 12 \cdot 9 - 4$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $12$ por $9$ .

$f'' (- 3) = 108 - 4$

Etapa 4.2.2

Subtraia $4$ de $108$ .

$f'' (- 3) = 104$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $104$ .

$104$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ porque $f'' (- 3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Etapa 5.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = 12 {(3)}^{2} - 4$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = 12 \cdot 9 - 4$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $12$ por $9$ .

$f'' (3) = 108 - 4$

Etapa 6.2.2

Subtraia $4$ de $108$ .

$f'' (3) = 104$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $104$ .

$104$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ porque $f'' (3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8