Cálculo Exemplos

f (x) = \frac{1}{x}

$f (x) = \frac{1}{x}$

Etapa 1

Find the

x

$x$ values where the second derivative is equal to

0

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reescreva

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ como

x^{- 1}

$x^{- 1}$ .

\frac{d}{d x} [x^{- 1}]

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = - 1

$n = - 1$ .

- x^{- 2}

$- x^{- 2}$

Etapa 1.1.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que

f (x) = - 1

$f (x) = - 1$ e

g (x) = \frac{1}{x^{2}}

$g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Reescreva

\frac{1}{x^{2}}

$\frac{1}{x^{2}}$ como

{(x^{2})}^{- 1}

${(x^{2})}^{- 1}$ .

- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.2.2

Multiplique os expoentes em

{(x^{2})}^{- 1}

${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Multiplique

2

$2$ por

- 1

$- 1$ .

- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = - 2

$n = - 2$ .

- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.2.4

Multiplique

- 2

$- 2$ por

- 1

$- 1$ .

2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.2.5

Como

- 1

$- 1$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

- 1

$- 1$ em relação a

x

$x$ é

0

$0$ .

2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Etapa 1.1.2.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.6.1

Multiplique

\frac{1}{x^{2}}

$\frac{1}{x^{2}}$ por

0

$0$ .

2 x^{- 3} + 0

$2 x^{- 3} + 0$

Etapa 1.1.2.2.6.2

Some

2 x^{- 3}

$2 x^{- 3}$ e

0

$0$ .

2 x^{- 3}

$2 x^{- 3}$

2 x^{- 3}

$2 x^{- 3}$

2 x^{- 3}

$2 x^{- 3}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

2 \frac{1}{x^{3}}

$2 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Combine

2

$2$ e

\frac{1}{x^{3}}

$\frac{1}{x^{3}}$ .

f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de

f (x)

$f (x)$ com relação a

x

$x$ é

\frac{2}{x^{3}}

$\frac{2}{x^{3}}$ .

\frac{2}{x^{3}}

$\frac{2}{x^{3}}$

\frac{2}{x^{3}}

$\frac{2}{x^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a

0

$0$ e resolva a equação

\frac{2}{x^{3}} = 0

$\frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a

0

$0$ .

\frac{2}{x^{3}} = 0

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

2 = 0

$2 = 0$

Etapa 1.2.3

Como

2 \neq 0

$2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

Encontre o domínio de

f (x) = \frac{1}{x}

$f (x) = \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ como igual a

0

$0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

x = 0

$x = 0$

Etapa 2.2

O domínio consiste em todos os valores de

x

$x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

{x | x \neq 0}

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

{x | x \neq 0}

${x | x \neq 0}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores

x

$x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

(- \infty, 0) \cup (0, \infty)

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo

(- \infty, 0)

$(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável

x

$x$ por

- 2

$- 2$ na expressão.

f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de

2

$2$ e

{(- 2)}^{3}

${(- 2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Reescreva

2

$2$ como

- 1 (- 2)

$- 1 (- 2)$ .

f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Fatore

- 2

$- 2$ de

- 1 (- 2)

$- 1 (- 2)$ .

f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.1

Fatore

- 2

$- 2$ de

{(- 2)}^{3}

${(- 2)}^{3}$ .

f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve

$- 2$ à potência de

$2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

Etapa 4.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é

$- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo

$(- \infty, 0)$ porque

$f'' (- 2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em

$(- \infty, 0)$ , já que

$f'' (x)$ é negativo

Concavidade para baixo em

$(- \infty, 0)$ , já que

$f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo

$(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável

$x$ por

$2$ na expressão.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de

$2$ e

${(2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Fatore

$2$ de

${(2)}^{3}$ .

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Etapa 5.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Etapa 5.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 5.2.2

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é

$\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo

$(0, \infty)$ porque

$f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em

$(0, \infty)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em

$(0, \infty)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em

$(- \infty, 0)$ , já que

$f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em

$(0, \infty)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Etapa 7