Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Reescreva $\frac{1}{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 + x^{2})}^{- 1})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 1.1.1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 1.1.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Etapa 1.1.1.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Etapa 1.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Etapa 1.1.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Etapa 1.1.1.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.4.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique ${(1 + x^{2})}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Fatore $1 + x^{2}$ de ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.2.1

Fatore $1 + x^{2}$ de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2.2

Fatore $1 + x^{2}$ de $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.5.2.3

Fatore $1 + x^{2}$ de $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Fatore $1 + x^{2}$ de ${(1 + x^{2})}^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.11

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.13

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.15

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.16

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.17

Combine $- 2$ e $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(2) (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.19

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.19.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.19.2.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.19.3

Fatore $2$ de $2 - 6 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.19.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.19.3.2

Fatore $2$ de $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1) + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.2.19.3.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (1 - 3 x^{2}) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Divida cada termo em $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.1.2.1.2

Divida $1 - 3 x^{2}$ por $1$ .

$1 - 3 x^{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 1.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$1 - 3 x^{2} = 0$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} = - 1$

Etapa 1.2.3.3

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 1$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 1.2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 1.2.3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 1.2.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Etapa 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.3.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 1.2.3.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.3.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 1.2.3.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 1.2.3.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{1}{1 + x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 + x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 2.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 3 {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $- 3$ por ${(- 3)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $- 3$ por ${(- 3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + (- 3) {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Etapa 4.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{1 + 2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{3})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $27$ de $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Etapa 4.2.3.2

Some $1$ e $9$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Etapa 4.2.3.3

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Etapa 4.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 26$ .

$f'' (- 3) = - \frac{- 52}{1000}$

Etapa 4.2.4.2

Cancele o fator comum de $- 52$ e $1000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.1

Fatore $4$ de $- 52$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Etapa 4.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.2.2.1

Fatore $4$ de $1000$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Etapa 4.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Etapa 4.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 3) = - \frac{- 13}{250}$

Etapa 4.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 3) = \frac{13}{250}$

Etapa 4.2.5

A resposta final é $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ porque $f'' (- 3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 {(0)}^{2})}{{(1 + {(0)}^{2})}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (1 + 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Some $1$ e $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $1$ e $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Etapa 5.2.3.2

Divida $2$ por $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 {(3)}^{2})}{{(1 + {(3)}^{2})}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 9)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Subtraia $27$ de $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $1$ e $9$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 26$ .

$f'' (3) = - \frac{- 52}{1000}$

Etapa 6.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 52$ e $1000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $4$ de $- 52$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1

Fatore $4$ de $1000$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Etapa 6.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

Etapa 6.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (3) = - \frac{- 13}{250}$

Etapa 6.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (3) = \frac{13}{250}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{13}{250}$ .

$\frac{13}{250}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ porque $f'' (3)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8