Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1.3.5.1

Combine os termos opostos em $2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

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Etapa 1.1.1.3.5.1.1

Subtraia $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) + 0 - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.2

Some $2 \cdot - 4 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1.3.5.2.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.3

Subtraia $2 x$ de $- 8 x$ .

$f' (x) = \frac{- 10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.1.3.7.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f' (x) = - \frac{10 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7.3

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = - \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Multiplique ${(x + 2)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x + 2)}^{2}$ e $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 2$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.6.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x + 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 2)}^{2} (x - 2)) \frac{d}{d x} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + 0) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.6.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) \cdot 1 + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Etapa 1.1.2.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 (x + 2) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 \cdot ({(x - 2)}^{2} (x + 2)) \frac{d}{d x} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + 0))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.5

Combine frações.

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Etapa 1.1.2.8.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) \cdot 1)}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.5.3

Combine $- 10$ e $\frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{(10) ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.1

Aplique a regra do produto a ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)) - x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}) + 10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.1

Fatore $10 (x + 2) (x - 2)$ de $10 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.1.1

Fatore $10 (x + 2) (x - 2)$ de $10 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.1.2

Fatore $10 (x + 2) (x - 2)$ de $10 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.1.3

Fatore $10 (x + 2) (x - 2)$ de $10 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.1.4

Fatore $10 (x + 2) (x - 2)$ de $10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.1.5

Fatore $10 (x + 2) (x - 2)$ de $10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 10 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2)) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.1

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x (x - 2) + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.2

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.2.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 2$ e $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.2.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.2.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.3.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.6

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.8

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.3.8.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.8.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.3.9

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.4

Combine os termos opostos em $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.4.4.1

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.4.2

Some $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.5

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 4 - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.4.6

Subtraia $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 2)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{2 \cdot 2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.5.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9.5.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.9.5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.9.5.3

Cancele o fator comum de $x + 2$ e ${(x + 2)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.3.1

Fatore $x + 2$ de $10 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.9.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.3.2.1

Fatore $x + 2$ de ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Etapa 1.1.2.9.5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Etapa 1.1.2.9.5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{(10 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.9.5.4

Cancele o fator comum de $x - 2$ e ${(x - 2)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.4.1

Fatore $x - 2$ de $10 (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (10 (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.9.5.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.9.5.4.2.1

Fatore $x - 2$ de ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (10 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Etapa 1.1.2.9.5.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (10 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Etapa 1.1.2.9.5.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.9.6

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.9.7

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.9.8

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (4)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.9.9

Reescreva $- (3 x^{2} + 4)$ como $- 1 (3 x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{10 (- 1 (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.9.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2.9.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}})$

Etapa 1.1.2.9.12

Multiplique $\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$10 (3 x^{2} + 4) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $10 (3 x^{2} + 4) = 0$ por $10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Divida cada termo em $10 (3 x^{2} + 4) = 0$ por $10$ .

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Etapa 1.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 (3 x^{2} + 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Etapa 1.2.3.1.2.1.2

Divida $3 x^{2} + 4$ por $1$ .

$3 x^{2} + 4 = \frac{0}{10}$

Etapa 1.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $10$ .

$3 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} = - 4$

Etapa 1.2.3.3

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 1.2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 1.2.3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 1.2.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{4}{3}$

Etapa 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$

Etapa 1.2.3.5

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1

Reescreva $- \frac{4}{3}$ como $i^{2} \frac{2^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.1.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{4}{3}}$

Etapa 1.2.3.5.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2^{2}}{3}}$

Etapa 1.2.3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2^{2}}{3}}$

Etapa 1.2.3.5.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \pm i \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 1.2.3.5.4

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.6

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 1.2.3.5.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.7.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 1.2.3.5.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 1.2.3.5.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.3.5.7.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 1.2.3.5.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.5.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.5.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.5.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.5.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.3.5.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 1.2.3.5.7.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.5.8

Combine $i$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i (2 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 1.2.3.5.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 1.2.3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 i \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 4$

Etapa 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 2}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = \frac{10 (3 {(- 4)}^{2} + 4)}{{((- 4) + 2)}^{3} {((- 4) - 2)}^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 (3 \cdot 16 + 4)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 (48 + 4)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Etapa 4.2.1.3

Some $48$ e $4$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Some $- 4$ e $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{{(- 2)}^{3} {(- 6)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{- 8 {(- 6)}^{3}}$

Etapa 4.2.2.4

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{10 \cdot 52}{- 8 \cdot - 216}$

Etapa 4.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Multiplique $10$ por $52$ .

$f'' (- 4) = \frac{520}{- 8 \cdot - 216}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $- 8$ por $- 216$ .

$f'' (- 4) = \frac{520}{1728}$

Etapa 4.2.3.3

Cancele o fator comum de $520$ e $1728$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1

Fatore $8$ de $520$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 (65)}{1728}$

Etapa 4.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.2.1

Fatore $8$ de $1728$ .

$f'' (- 4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Etapa 4.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Etapa 4.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 4) = \frac{65}{216}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $\frac{65}{216}$ .

$\frac{65}{216}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 2, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{10 (3 {(0)}^{2} + 4)}{{((0) + 2)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{10 (3 \cdot 0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{10 (0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 5.2.1.3

Some $0$ e $4$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Reescreva $0$ como $- 1 (0)$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1 \cdot 0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 5.2.2.4

Aplique a regra do produto a $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{{(- 1)}^{3} \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Etapa 5.2.2.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Etapa 5.2.2.6

Multiplique ${(0 - 2)}^{3}$ por ${(0 - 2)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.6.1

Mova ${(0 - 2)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Etapa 5.2.2.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3}}$

Etapa 5.2.2.6.3

Some $3$ e $3$ .

$f'' (0) = \frac{10 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Etapa 5.2.3

Multiplique $10$ por $4$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 1 {(- 2)}^{6}}$

Etapa 5.2.4.2

Eleve $- 2$ à potência de $6$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 1 \cdot 64}$

Etapa 5.2.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$f'' (0) = \frac{40}{- 64}$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de $40$ e $- 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.2.1

Fatore $8$ de $40$ .

$f'' (0) = \frac{8 (5)}{- 64}$

Etapa 5.2.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.2.2.1

Fatore $8$ de $- 64$ .

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot - 8}$

Etapa 5.2.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot - 8}$

Etapa 5.2.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{5}{- 8}$

Etapa 5.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{5}{8}$

Etapa 5.2.6

A resposta final é $- \frac{5}{8}$ .

$- \frac{5}{8}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 2, 2)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 2, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = \frac{10 (3 {(4)}^{2} + 4)}{{((4) + 2)}^{3} {((4) - 2)}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = \frac{10 (3 \cdot 16 + 4)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f'' (4) = \frac{10 (48 + 4)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Etapa 6.2.1.3

Some $48$ e $4$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $4$ e $2$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{6^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{6^{3} \cdot 2^{3}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{216 \cdot 2^{3}}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f'' (4) = \frac{10 \cdot 52}{216 \cdot 8}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $10$ por $52$ .

$f'' (4) = \frac{520}{216 \cdot 8}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $216$ por $8$ .

$f'' (4) = \frac{520}{1728}$

Etapa 6.2.3.3

Cancele o fator comum de $520$ e $1728$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.3.1

Fatore $8$ de $520$ .

$f'' (4) = \frac{8 (65)}{1728}$

Etapa 6.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.3.2.1

Fatore $8$ de $1728$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Etapa 6.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 65}{8 \cdot 216}$

Etapa 6.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (4) = \frac{65}{216}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{65}{216}$ .

$\frac{65}{216}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 2, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8