Cálculo Exemplos

Encontre a Concavidade f(x)=(x-5)^4
Etapa 1
Find the values where the second derivative is equal to .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Encontre a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.1
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.1.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 1.1.1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.1.1.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 1.1.1.2
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.1.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.1.2.3
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.1.2.4
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.2.4.1
Some e .
Etapa 1.1.1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 1.1.2
Encontre a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.2.2
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.2.2.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 1.1.2.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.2.2.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 1.1.2.3
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 1.1.2.3.2
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.1.2.3.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.2.3.4
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.2.3.5
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.2.3.5.1
Some e .
Etapa 1.1.2.3.5.2
Multiplique por .
Etapa 1.1.3
A segunda derivada de com relação a é .
Etapa 1.2
Defina a segunda derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Defina a segunda derivada como igual a .
Etapa 1.2.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 1.2.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.2.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.2.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.2.2.2.1.2
Divida por .
Etapa 1.2.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.2.3.1
Divida por .
Etapa 1.2.3
Defina como igual a .
Etapa 1.2.4
Some aos dois lados da equação.
Etapa 2
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Notação de intervalo:
Notação de construtor de conjuntos:
Etapa 3
Crie intervalos em torno dos valores , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.
Etapa 4
Substitua qualquer número do intervalo na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 4.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.2.1
Subtraia de .
Etapa 4.2.2
Eleve à potência de .
Etapa 4.2.3
Multiplique por .
Etapa 4.2.4
A resposta final é .
Etapa 4.3
O gráfico tem concavidade para cima no intervalo porque é positivo.
Concavidade para cima em , já que é positivo
Concavidade para cima em , já que é positivo
Etapa 5
Substitua qualquer número do intervalo na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 5.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.1
Subtraia de .
Etapa 5.2.2
Eleve à potência de .
Etapa 5.2.3
Multiplique por .
Etapa 5.2.4
A resposta final é .
Etapa 5.3
O gráfico tem concavidade para cima no intervalo porque é positivo.
Concavidade para cima em , já que é positivo
Concavidade para cima em , já que é positivo
Etapa 6
O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.
Concavidade para cima em , já que é positivo
Concavidade para cima em , já que é positivo
Etapa 7