Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {(x - 4)}^{2}$ e $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - 4$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 4$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{2} (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + 0) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) \cdot 1 - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.6.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.6.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.6.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \cdot 1)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.6.5.2

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.7.1.1

Fatore $2 (x - 2) (x - 4)$ de $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.7.1.1.1

Fatore $2 (x - 2) (x - 4)$ de $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4)$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.7.1.1.2

Fatore $2 (x - 2) (x - 4)$ de $- 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.7.1.1.3

Fatore $2 (x - 2) (x - 4)$ de $2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.7.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x - - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.7.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.7.1.4

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (0 - 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.7.1.5

Subtraia $2$ de $0$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (- 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.7.1.6

Some $- 2$ e $4$ .

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) \cdot 2}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.7.1.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 (x - 2) (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.7.2

Cancele o fator comum de $x - 2$ e ${(x - 2)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.7.2.1

Fatore $x - 2$ de $4 (x - 2) (x - 4)$ .

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.1.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.7.2.2.1

Fatore $x - 2$ de ${(x - 2)}^{4}$ .

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.1.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.1.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$

Etapa 1.1.2.2

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.3.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.3.5.2

Multiplique ${(x - 2)}^{3}$ por $1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 2$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.5.2

Fatore ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.2.1

Fatore ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x - 2)}^{3}$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.5.2.2

Fatore ${(x - 2)}^{2}$ de $- 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.5.2.3

Fatore ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Etapa 1.1.2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Fatore ${(x - 2)}^{2}$ de ${(x - 2)}^{6}$ .

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.6.3

Reescreva a expressão.

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.9

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.10

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.10.1

Some $1$ e $0$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.10.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.10.3

Combine $4$ e $\frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$\frac{4 (x - 2 - 3 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (x - 2 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x + 4 \cdot - 2 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.3.1.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{4 x - 8 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.3.1.2

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.3.1.3

Multiplique $4 (- 3 \cdot - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.3.1.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 4$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 \cdot 12}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.3.1.3.2

Multiplique $4$ por $12$ .

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.3.2

Subtraia $12 x$ de $4 x$ .

$\frac{- 8 x - 8 + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.3.3

Some $- 8$ e $48$ .

$\frac{- 8 x + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.4

Fatore $8$ de $- 8 x + 40$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.11.4.1

Fatore $8$ de $- 8 x$ .

$\frac{8 (- x) + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.4.2

Fatore $8$ de $40$ .

$\frac{8 (- x) + 8 (5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.4.3

Fatore $8$ de $8 (- x) + 8 (5)$ .

$\frac{8 (- x + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.6

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{8 (- (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.8

Reescreva $- (x - 5)$ como $- 1 (x - 5)$ .

$\frac{8 (- 1 (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.2.11.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 (x - 5) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $8 (x - 5) = 0$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Divida cada termo em $8 (x - 5) = 0$ por $8$ .

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 1.2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 1.2.3.1.2.1.2

Divida $x - 5$ por $1$ .

$x - 5 = \frac{0}{8}$

Etapa 1.2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.3.1

Divida $0$ por $8$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina o denominador em $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, 5) \cup (5, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{8 ((0) - 5)}{{((0) - 2)}^{4}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $5$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(0 - 2)}^{4}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(- 2)}^{4}}$

Etapa 4.2.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{16}$

Etapa 4.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Multiplique $8$ por $- 5$ .

$f'' (0) = - \frac{- 40}{16}$

Etapa 4.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 40$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Fatore $8$ de $- 40$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (- 5)}{16}$

Etapa 4.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.2.1

Fatore $8$ de $16$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

Etapa 4.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

Etapa 4.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = - \frac{- 5}{2}$

Etapa 4.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = \frac{5}{2}$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, 2)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(2, 5)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = - \frac{8 ((4) - 5)}{{((4) - 2)}^{4}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $5$ de $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{{(4 - 2)}^{4}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $2$ de $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{2^{4}}$

Etapa 5.2.2.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{16}$

Etapa 5.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$f'' (4) = - \frac{- 8}{16}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 8$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $8$ de $- 8$ .

$f'' (4) = - \frac{8 (- 1)}{16}$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.2.1

Fatore $8$ de $16$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

Etapa 5.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

Etapa 5.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (4) = - \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (4) = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(2, 5)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(2, 5)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(5, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f'' (8) = - \frac{8 ((8) - 5)}{{((8) - 2)}^{4}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $5$ de $8$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{{(8 - 2)}^{4}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $2$ de $8$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{6^{4}}$

Etapa 6.2.2.2

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{1296}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $8$ por $3$ .

$f'' (8) = - \frac{24}{1296}$

Etapa 6.2.3.2

Cancele o fator comum de $24$ e $1296$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $24$ de $24$ .

$f'' (8) = - \frac{24 (1)}{1296}$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1

Fatore $24$ de $1296$ .

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

Etapa 6.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

Etapa 6.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (8) = - \frac{1}{54}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{54}$ .

$- \frac{1}{54}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(5, \infty)$ porque $f'' (8)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(5, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em $(2, 5)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(5, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8