Cálculo Exemplos

$y = - x^{2} + x$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - ((x + h) (x + h)) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.2

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = - (x (x + h) + h (x + h)) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.3.2

Some $x h$ e $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.3.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.3.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h$

Etapa 2.1.2.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = - x^{2} - (2 h x) - h^{2} + x + h$

Etapa 2.1.2.2.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

Etapa 2.1.2.3

A resposta final é $- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

Etapa 2.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova $x$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + h + x$

Etapa 2.2.2

Mova $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + h + x$

Etapa 2.2.3

Reordene $- 2 h x$ e $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x - (- x^{2} + x)}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + 1 x^{2} - x}{h}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

Etapa 4.1.3

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x + 0 - x}{h}$

Etapa 4.1.4

Some $- h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x - x}{h}$

Etapa 4.1.5

Subtraia $x$ de $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + 0}{h}$

Etapa 4.1.6

Some $- h^{2} - 2 h x + h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h}{h}$

Etapa 4.1.7

Fatore $h$ de $- h^{2} - 2 h x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Fatore $h$ de $- h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x + h}{h}$

Etapa 4.1.7.2

Fatore $h$ de $- 2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

Etapa 4.1.7.3

Eleve $h$ à potência de $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

Etapa 4.1.7.4

Fatore $h$ de $h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 1}{h}$

Etapa 4.1.7.5

Fatore $h$ de $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 1}{h}$

Etapa 4.1.7.6

Fatore $h$ de $h (- h - 2 x) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

Etapa 4.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $- h - 2 x + 1$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x + 1$

Etapa 4.2.2

Reordene $- h$ e $- 2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h + 1$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Etapa 6

Avalie o limite de $2 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Etapa 7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + 1$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- 2 x + 0 + 1$

Etapa 8.2

Some $- 2 x$ e $0$ .

$- 2 x + 1$

Etapa 9